《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1.(1)已知函数$f(x)$为$\mathbf{R}$上的偶函数，且当$x＜0$时，$f(x)=x(x-1)$，则当$x＞0$时，$f(x)=$x(x + 1).
(2)若定义在$\mathbf{R}$上的偶函数$f(x)$和奇函数$g(x)$满足$f(x)+g(x)=x^2+3x+1$，则$f(x)=$$x^{2}+1$.

答案： 1.
(1)答案:$x(x + 1)$
解析：当$x ＞ 0$时，$-x ＜ 0$，则$f(-x)=(-x)(-x - 1)=x(x + 1)$. 因为函数$f(x)$为偶函数，所以$f(-x)=f(x)$.所以当$x ＞ 0$时，$f(x)=x(x + 1)$.
(2)答案:$x^{2}+1$
解析：由题意得$f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x)$，且$f(x)+g(x)=x^{2}+3x + 1$ ①，用$-x$代替$x$，得$f(-x)+g(-x)=x^{2}-3x + 1$，即$f(x)-g(x)=x^{2}-3x + 1$ ②，联立①②，解得$f(x)=x^{2}+1$.

例3 已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且在$[2,6]$上单调递减，比较$f(-5)$与$f(3)$的大小.
因为$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，
所以$f(-5)=f(5)$，
因为$f(x)$在$[2,6]$上单调递减，
所以$f(5) ＜ f(3)$，所以$f(-5) ＜ f(3)$.

答案： 例3 [解] 因为$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，
所以$f(-5)=f(5)$，
因为$f(x)$在$[2,6]$上单调递减，
所以$f(5) ＜ f(3)$，所以$f(-5) ＜ f(3)$.

2.设偶函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，若在区间$[0,+\infty)$上，函数$f(x)$单调递增，则$f(-2),f(\pi),f(-3)$的大小关系为$f(\pi) ＞ f(-3) ＞ f(-2)$(用“$＞$”填写).

答案： 2.答案:$f(\pi) ＞ f(-3) ＞ f(-2)$
解析：由偶函数的单调性知，若函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上单调递增，则函数$f(x)$在区间$(-\infty,0)$上单调递减. 故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则函数值越小.$\because|-2|＜|-3|＜\pi,\therefore f(\pi) ＞ f(-3) ＞ f(-2)$.

例4 设定义在$[-2,2]$上的偶函数$f(x)$在区间$[0,2]$上单调递减，若$f(1-m)＜f(m)$，则实数$m$的取值范围为

答案： 例4 [解析] 因为$f(x)$是偶函数，所以$f(-x)=f(x)=f(|x|)$.所以不等式$f(1 - m) ＜ f(m)$等价于$f(|1 - m|)＜ f(|m|)$.又$f(x)$在区间$[0,2]$上单调递减，所以$\begin{cases}|1 - m| ＞ |m|,\\-2\leqslant m\leqslant 2,\\-2\leqslant 1 - m\leqslant 2,\end{cases}$解得$-1\leqslant m＜\frac{1}{2}$，即实数$m$的取值范围为$[-1,\frac{1}{2})$.
[答案] $[-1,\frac{1}{2})$

3.已知奇函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调递减，且$f(1)=-1$，则满足$-1\leqslant f(x-2)\leqslant1$的$x$的取值范围为[1,3].

答案： 3.答案:$[1,3]$
解析：$\because f(x)$为奇函数，$f(1)=-1,\therefore f(-1)=-f(1)=1.\because -1\leqslant f(x - 2)\leqslant 1,\therefore f(1)\leqslant f(x - 2)\leqslant f(-1)$.
$\because f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调递减，$\therefore -1\leqslant x - 2\leqslant 1$，$\therefore 1\leqslant x\leqslant 3$，即$x$的取值范围为$[1,3]$.