《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例3 (1)已知一次函数$f(x)$满足$f(f(x)) = 4x + 6$，求$f(x)$的解析式.
(2)已知$f(\sqrt{x + 1}) = x + 2\sqrt{x}$，求$f(x)$的解析式.
(3)已知函数$f(x)$满足$f(x)+2f(\frac{1}{x})=x$，求$f(x)$的解析式.
(4)设$f(x)$是$\mathbf{R}$上的函数，$f(0)=1$，且对任意的实数$x,y$都有$f(x + y)=f(x)+y(4x + 2y + 1)$，求$f(x)$.

答案： 例3
(1)[解]　(待定系数法)设f(x)=ax+b(a≠0)，则
f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a²x+ab+b=4x +6，于是有$\begin{cases}a²=4,\\ab+b=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\b=2,\end{cases}$或$\begin{cases}a=-2,\\b=-6,\end{cases}$
所以f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6.
(2)[解]
解法一(换元法)：令$\sqrt{x + 1}=t,t\geq1$，则x=(t - 1)²，所以f(t)=(t - 1)²+2(t - 1)=t²-1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)=x²-1(x≥1).
解法二(配凑法)：f($\sqrt{x + 1}$)=x+2$\sqrt{x + 1}$-1=($\sqrt{x + 1}$)²-1.
因为$\sqrt{x + 1}\geq1$，所以f(x)的解析式为f(x)=x²-1(x≥1).
(3)[解]　(解方程组法)在已知等式中，将x换成$\frac{1}{x}$，得
f($\frac{1}{x}$)+2f(x)=$\frac{1}{x}$，与已知方程联立，
得$\begin{cases}f(x)+2f(\frac{1}{x})=x,\\f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{1}{x},\end{cases}$
消去f($\frac{1}{x}$)，得f(x)=-$\frac{x}{3}$+$\frac{2}{3x}$
(4)[解]　(赋值法)由已知条件得f
(0)=1,f(x+y)=f(x)+y(2x+1)，
令y=-x，得f(x-x)=f(x)+(-x)(2x+1)，
则1=f(x)-x(2x+1)，所以f(x)=2x²+x+1.

3.求下列函数的解析式：
(1)已知$f(\sqrt{x - 1}) = x$，求$f(x)$的解析式；
(2)已知$f(\frac{1 + x}{x})=\frac{1 + x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x}$，求$f(x)$的解析式；
(3)已知$2f(x - 1)-f(1 - x)=2x^{2}-1$，求$f(x)$的解析式；
(4)已知函数$f(x)$对任意实数$x,y$均有$f(x + y)=2f(y)+x^{2}+2xy - y^{2}+3x - 3y$，求$f(x)$的解析式.

答案： 3.解:
(1)(换元法)令t=$\sqrt{x}$-1(t≥-1)，则x=(t+1)².
∴f(t)=(t+1)²(t≥-1).
∴f(x)的解析式为f(x)=(x+1)²,x≥-1.
(2)(配凑法)因为f($\frac{1 + x}{x}$)=f($\frac{1}{x}$+1)=($\frac{1}{x}$+1)²-($\frac{1}{x}$+1)+1，$\frac{1}{x}$≠0，
∴$\frac{1}{x}$+1≠1，
∴f(x)=x²-x+1(x≠1).
(3)(解方程组法)令x-1=t，则1-x=-t,x=t+1.
∴$\begin{cases}2f(t)-f(-t)=2(t + 1)²-1,\\2f(-t)-f(t)=2(-t + 1)²-1,\end{cases}$
解得f(t)=2t²+$\frac{4}{3}$t+1.
即f(x)的解析式为f(x)=2x²+$\frac{4}{3}$x+1.
(4)(赋值法)令x=y=0，得f
(0)=2f
(0)，所以f
(0)=0.
令y=0，得f(x)=f
(0)+x²+3x，所以f(x)=x²+3x.