《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1.(集合间关系的判断)设集合$A = \{1,2,4\}$，$B = \{2\}$，则下列关系正确的是 (D)

A.$B\in A$
B.$B\notin A$
C.$B\supseteq A$
D.$B\subseteq A$

答案： 1.D

2.(空集的概念)下列四个集合中是空集的是 (B)

A.$\{0\}$
B.$\{x\mid x ＞ 2$，且$x ＜ -2\}$
C.$\{x\mid x^2 - 1 = 0\}$
D.$\{x\mid x ＞ 2\}$

答案： 2.B

3.(由集合间的关系求参数)已知集合$A = \{-2,3,6m - 6\}$，若$\{6\}\subseteq A$，则$m =$2.

答案： 3.2

4.(集合相等)若集合$\{2,4\} = \{1 - a,4\}$，则$a =$-1.

答案： 4.-1

5.(子集)若集合$A = \{x\mid(a - 1)x^2 + 3x - 2 = 0\}$有且仅有两个子集，则实数$a$的取值为1 或$-\frac {1}{8}$.

答案： 5.1 或$-\frac {1}{8}$

例1 指出下列各对集合之间的关系：
(1)$A = \{-1,1\}$，$B = \{(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)\}$；
(2)$A = \{x\mid x$是等边三角形$\}$，$B = \{x\mid x$是等腰三角形$\}$；
(3)$A = \{x\mid -1 ＜ x ＜ 4\}$，$B = \{x\mid x - 5 ＜ 0\}$；
(4)$M = \{x\mid x = 2n - 1,n\in N_+\}$，$N = \{x\mid x = 2n + 1,n\in N_+\}$；
(5)$M = \{x\in N_+\mid x$是$4$和$6$的公倍数$\}$，$N = \{x\mid x = 12n,n\in N_+\}$.

答案：
例 1 [解]
(1)集合 A 的元素是数,集合 B 的元素是有序实数对,故 A 与 B 之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是有两边相等的三角形,故$A\subseteq B$.
(3)集合$B=\{ x|x＜5\}$,用数轴表示集合 A,B,如图所示,由图可知$A\subseteq B$.

(4)由列举法知$M=\{ 1,3,5,7,·s \},N=\{ 3,5,7,9,·s \}$,故$N\subsetneqq M$.
(5)
∵4 和 6 的最小公倍数为 12,
∴$M=\{ x|x=12m,m\in N_{+}\}$,又$N=\{ x|x=12n,n\in N_{+}\}$,
∴$M=N$.

1.(1)已知集合$P = \{1,2,3,4\}$，$Q = \{y\mid y = x + 1$，$x\in P\}$，那么集合$M = \{3,4,5\}$与$Q$的关系是 (A)
A.$M\subsetneqq Q$
B.$M$，$Q$互不包含
C.$Q\subsetneqq M$
D.$Q = M$
(2)已知集合$A = \{x\mid x = \frac{2n + 1}{3},n\in Z\}$，$B = \{x\mid x = \frac{2n}{3} + 1,n\in Z\}$，则集合$A$，$B$的关系为A=B

答案： 1.
(1)A
∵集合$P=\{ 1,2,3,4\},Q=\{ y|y=x + 1,x\in P\}=\{ 2,3,4,5\}$,又集合$M=\{ 3,4,5\}$,
∴$M\subsetneqq Q$. 故选 A.
(2)答案:A=B
解析:在集合 A 中,$x=\frac {2n + 1}{3},n\in Z$.集合 A 中的元素是所有奇数除以 3 所得的数. 在集合 B 中,$x=\frac {2n}{3}+1=\frac {2n + 3}{3}=\frac {2(n + 1)+1}{3}$. 当$n\in Z$时,$(n + 1)\in Z,2(n + 1)+1$为所有奇数,所以 B 中的元素是所有奇数除以 3 所得的数. 故 A=B.

例2 (1)若$A = \{2,3,4\}$，$B = \{x\mid x = mn$，$m$，$n\in A$，且$m\neq n\}$，则集合$B$的非空真子集的个数为 (B)
A. 3
B. 6
C. 7
D. 8
(2)设$A = \{x\mid(x^2 - 16)(x^2 + 5x + 4) = 0\}$，写出集合$A$的子集，并指出其中哪些是它的真子集.

答案： 例 2
(1)[解析] 由题意$A=\{ 2,3,4\},B=\{ x|x=mn,m,n\in A$,且$m\neq n\}$,可知$B=\{ 6,8,12\}$,所以集合 B 的非空真子集的个数为$2^{3}-2=6$.
[答案] B
(2)[解] 由$(x^{2}-16)(x^{2}+5x + 4)=0$,得$(x + 4)^{2}(x + 1)(x - 4)=0$,
解方程得$x=-4$或$x=-1$或$x=4$.
故集合$A=\{ -4,-1,4\}$,
由 0 个元素构成的集合 A 的子集:$\emptyset $;
由 1 个元素构成的集合 A 的子集:$\{ -4\},\{ -1\},\{ 4\}$;
由 2 个元素构成的集合 A 的子集:$\{ -4,-1\},\{ -4,4\},\{ -1,4\}$;
由 3 个元素构成的集合 A 的子集:$\{ -4,-1,4\}$.
所以集合 A 的子集有:$\emptyset ,\{ -4\},\{ -1\},\{ 4\},\{ -4,-1\},\{ -4,4\},\{ -1,4\},\{ -4,-1,4\}$.
集合 A 的真子集有:$\emptyset ,\{ -4\},\{ -1\},\{ 4\},\{ -4,-1\},\{ -4,4\},\{ -1,4\}$.