《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

要点3 超几何分布的综合应用
典型例题
在一次购物抽奖活动中，假设$10$张奖券中有一等奖奖券$1$张，可获价值$50$元的奖品，有二等奖奖券$3$张，每张可获价值$10$元的奖品，其余$6$张没有奖品。
(1)顾客甲从$10$张奖券中任意抽取$1$张，求中奖次数$X$的分布列；
(2)顾客乙从$10$张奖券中任意抽取$2$张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为$Y$元，求$Y$的分布列。
归纳总结
解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆。
(2)超几何分布中，只要知道$M,N,n$，就可以利用公式求出$X$取不同$k$值时的概率$P(X = k)$，从而求出$X$的分布列。

答案：
解
(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故$X$的取值只有0和1两种情况.
　$P(X = 1) = \frac{C_{4}^{1}}{C_{10}^{1}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$，
　　则$P(X = 0) = 1 - P(X = 1) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
　　因此$X$的分布列为
　　　　　　
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件:所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖，
　故所求概率$P = \frac{C_{4}^{1}C_{6}^{1} + C_{4}^{2}C_{6}^{0}}{C_{10}^{2}} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$.
　　②$Y$的所有可能取值为0,10,20,50,60，且
　$P(Y = 0) = \frac{C_{6}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$，
　　$P(Y = 10) = \frac{C_{3}^{1}C_{6}^{1}}{C_{10}^{2}} = \frac{18}{45} = \frac{2}{5}$，
　　$P(Y = 20) = \frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$，
　$P(Y = 50) = \frac{C_{1}^{1}C_{6}^{1}}{C_{10}^{2}} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$，
　$P(Y = 60) = \frac{C_{1}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$.
　因此随机变量$Y$的分布列为
　　$Y$　0　10　20　50　60
　　$P$　$\frac{1}{3}$　$\frac{2}{5}$　$\frac{1}{15}$　$\frac{2}{15}$　$\frac{1}{15}$

迁移应用
老师要从$10$篇课文中随机抽$3$篇让学生背诵，规定至少要背出其中$2$篇才能通过。某同学只能背诵其中的$6$篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布列；
(2)他能通过的概率。

答案： 解
(1)设抽到他能背诵的课文的数量为$X$，
　　则$P(X = r) = \frac{C_{r}C_{4 - r}^{3 - r}}{C_{10}^{3}}(r = 0,1,2,3)$.
　　所以$P(X = 0) = \frac{C_{0}^{0}C_{4}^{3}}{C_{10}^{3}} = \frac{1}{30}$，
　　$P(X = 1) = \frac{C_{1}^{1}C_{4}^{2}}{C_{10}^{3}} = \frac{3}{10}$，
　　$P(X = 2) = \frac{C_{2}^{2}C_{4}^{1}}{C_{10}^{3}} = \frac{1}{2}$，
　　$P(X = 3) = \frac{C_{3}^{3}C_{4}^{0}}{C_{10}^{3}} = \frac{1}{6}$.
　　所以$X$的概率分布列为
　　$X$　0　1　2　3
　　$P$　$\frac{1}{30}$　$\frac{3}{10}$　$\frac{1}{2}$　$\frac{1}{6}$
(2)他能通过的概率$P(X\geq2) = P(X = 2) + P(X = 3) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$.