《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

要点 3 相互独立事件概率的实际应用
典型例题
三个电子元件 $ T_1 $，$ T_2 $，$ T_3 $ 正常工作的概率分别为 $ \frac{1}{2} $，$ \frac{3}{4} $，$ \frac{3}{4} $，将 $ T_2 $ 和 $ T_3 $ 两个电子元件并联后再和电子元件 $ T_1 $ 串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率。

归纳总结
解决此类问题应注意：
(1) 用事件的“并”“交”表示所求事件；
(2) 实际应用中，“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统有故障易求概率。求解时注意对立事件概率之间的转化。

答案： 解 记“三个电子元件$T_1,T_2,T_3$正常工作”分别为事件$A_1,A_2,A_3$，
则$P(A_1)=\frac{1}{2},P(A_2)=\frac{3}{4},P(A_3)=\frac{3}{4}$.
不发生故障的事件为$(A_2 \cup A_3) \cap A_1$，
故不发生故障的概率为$P = P[(A_2 \cup A_3) \cap A_1]=P(A_2 \cup A_3)P(A_1)=[1 - P(\overline{A_2})P(\overline{A_3})]P(A_1)=(1 - \frac{1}{4} × \frac{1}{4}) × \frac{1}{2} = \frac{15}{32}$.

迁移应用
如图，已知一个系统由 $ A $，$ B $，$ C $ 共 $ 3 $ 个部件组成，若在某段时间内 $ A $，$ B $，$ C $ 这 $ 3 $ 个部件正常工作的概率分别为 $ 0.9 $，$ 0.8 $，$ 0.7 $，那么该系统可正常工作的概率为(B)。


A.$ 0.054 $
B.$ 0.994 $
C.$ 0.496 $
D.$ 0.06 $

答案： B 解析 记三个部件都正常工作分别为事件A，B，C，
则$P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.7$.
三个部件同时出现故障的事件为$\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$，
则此系统正常工作的概率为$P = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}) = 1 - P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C}) = 1 - 0.1 × 0.2 × 0.3 = 0.994$.

1. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 $ A $，“骰子向上的点数是 $ 3 $”为事件 $ B $，则事件 $ A $，$ B $ 中至少有一个发生的概率是(A)。

A.$ \frac{7}{12} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ \frac{5}{12} $
D.$ \frac{3}{4} $

答案： 1.A 解析 因为$P(A)=\frac{1}{2},P(B)=\frac{1}{6}$，
所以$P(\overline{A})=\frac{1}{2},P(\overline{B})=\frac{5}{6}$.
又A，B为相互独立事件，
所以$P(\overline{A}B)=P(\overline{A})P(B)=\frac{1}{2} × \frac{5}{6} = \frac{5}{12}$. 所以事件A，B中至少有一个发生的概率为$1 - P(\overline{A}B)=1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$.

2. 打靶时，甲每打 $ 10 $ 次可中靶 $ 8 $ 次，乙每打 $ 10 $ 次可中靶 $ 7 $ 次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是(A)。

A.$ \frac{14}{25} $
B.$ \frac{12}{25} $
C.$ \frac{3}{4} $
D.$ \frac{3}{5} $

答案： 2.A 解析$P_{甲}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5},P_{乙}=\frac{7}{10}$，
所以$P = P_{甲}P_{乙}=\frac{14}{25}$.

3. 有 $ 6 $ 个相同的球，分别标有数字 $ 1 $，$ 2 $，$ 3 $，$ 4 $，$ 5 $，$ 6 $，从中有放回地随机取两次，每次取 $ 1 $ 个球。甲表示事件“第一次取出的球的数字是 $ 1 $”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 $ 2 $”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 $ 8 $”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 $ 7 $”，则(B)。

A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立

答案： 3.B 解析 由已知得$P(甲)=\frac{1}{6},P(乙)=\frac{1}{6},P(丙)=\frac{5}{6} × \frac{5}{6} = \frac{25}{36},P(丁)=\frac{6}{6 × 6} = \frac{1}{6},P(甲丙)=0,P(甲丁)=\frac{1}{6 × 6} = \frac{1}{36},P(乙丙)=\frac{1}{6 × 6} = \frac{1}{36},P(丙丁)=0$.
由于$P(甲丁)=P(甲) · P(丁)=\frac{1}{36}$，根据相互独立事件的性质，知事件甲与丁相互独立，故选B.