《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

迁移应用
某医院从$10$名医疗专家中选取$6$名参加某社区义诊活动，已知这$10$名医疗专家中有$4$名是外科专家.问：
（1）选取的$6$名专家中恰有$2$名是外科专家的选取方法有多少种？
（2）至少有$2$名外科专家的选取方法有多少种？
（3）至多有$2$名外科专家的选取方法有多少种？

答案： （1）分两步完成：第一步，从4名外科专家中任选2名，有$C_{4}^{2}$种选法；第二步，从除外科专家的6人中选取4人，有$C_{6}^{4}$种选法，所以共有$C_{4}^{2}C_{6}^{4}=90$种选取方法.
（2）“至少”的含义是“不低于”，有两种解答方法.
方法一（直接法）：
按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有$C_{4}^{2}C_{6}^{4}$种选法；
②选3名外科专家，共有$C_{4}^{3}C_{6}^{3}$种选法；
③选4名外科专家，共有$C_{4}^{4}C_{6}^{2}$种选法.
根据分类加法计数原理，共有$C_{4}^{2}C_{6}^{4}+C_{4}^{3}C_{6}^{3}+C_{4}^{4}C_{6}^{2}=185$种选取方法.
方法二（间接法）：
不考虑是否有外科专家，共有$C_{10}^{6}$种选法，考虑选取1名外科专家参加，有$C_{4}^{1}C_{6}^{5}$种选法；没有外科专家参加，有$C_{6}^{6}$种选法，所以共有$C_{10}^{6}-C_{4}^{1}C_{6}^{5}-C_{6}^{6}=185$种选取方法.
（3）“至多有2名外科专家”包括“没有外科专家”“有1名外科专家”“有2名外科专家”三种情况，分类解答.
①没有外科专家参加，有$C_{6}^{6}$种选法；
②有1名外科专家参加，有$C_{4}^{1}C_{6}^{5}$种选法；
③有2名外科专家参加，有$C_{4}^{2}C_{6}^{4}$种选法.
所以共有$C_{6}^{6}+C_{4}^{1}C_{6}^{5}+C_{4}^{2}C_{6}^{4}=115$种选取方法.

典型例题
在以$AB$为直径的半圆周上，有异于$A$，$B$的六个点$C_{1}$，$C_{2}$，$·s$，$C_{6}$，线段$AB$上有异于$A$，$B$的四个点$D_{1}$，$D_{2}$，$D_{3}$，$D_{4}$.
（1）以这$10$个点中的$3$个点为顶点可作多少个三角形？其中含$C_{1}$点的有多少个？
（2）以包括$A$，$B$的$12$个点中的$4$个为顶点，可作多少个四边形？
归纳总结
1 解决几何图形中的组合问题，首先要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理，其次应注意运用处理组合问题的常规方法解决问题.
2 求图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形.常用直接法，也可采用排除法.

答案： （1）方法一：可作三角形$C_{6}^{3}+C_{6}^{4}C_{4}^{2}+C_{6}^{2}C_{4}^{1}=116$个.
方法二：可作三角形$C_{10}^{3}-C_{4}^{3}=116$个，
其中含$C_{1}$点的有$C_{5}^{2}+C_{5}^{1}C_{4}^{1}+C_{4}^{2}=36$个.
（2）可作四边形$C_{6}^{4}+C_{6}^{3}C_{4}^{1}+C_{6}^{2}C_{4}^{2}=360$个.