《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

要点 4 涂色与种植问题
典型例题
(1)有 5 块试验田如图所示，将 3 种作物全部种植在这 5 块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有42种。

(2)有“田”字形的 4 个小方格如图所示，用红、黄、蓝、白、黑五种颜色给这“田”字形的 4 个小方格涂色，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，那么共有多少种不同的涂色方法？

答案： $(1)$
设这$3$种作物分别为$a$、$b$、$c$。
先种第一块试验田，有$3$种方法；再种第二块试验田，有$2$种方法；种第三块试验田时，分两种情况：
若第三块试验田与第一块试验田种植作物相同（此时有$1$种方法），那么第四块试验田有$2$种方法，第五块试验田有$2$种方法，此时方法数为$3×2×1×2×2 = 24$种。
若第三块试验田与第一块试验田种植作物不同（此时有$1$种方法），那么第四块试验田有$1$种方法（与第二块相同），第五块试验田有$2$种方法，此时方法数为$3×2×1×1×2 = 12$种；或者第四块试验田有$2$种方法（与第二块不同），第五块试验田有$1$种方法，此时方法数为$3×2×1×2×1 = 12$种。
所以总的种植方法有$24 + 18=42$种。
$(2)$
解：
当$1$，$4$同色时：
涂$1$（$4$），有$5$种方法；
涂$2$，有$4$种方法；
涂$3$，有$4$种方法。
根据分步乘法计数原理，此时共有$5×4×4 = 80$种方法。
当$1$，$4$不同色时：
涂$1$，有$5$种方法；
涂$4$，有$4$种方法；
涂$2$，有$3$种方法；
涂$3$，有$3$种方法。
根据分步乘法计数原理，此时共有$5×4×3×3=180$种方法。
再根据分类加法计数原理，不同的涂色方法共有$80 + 180=260$种。
综上，答案依次为：$(1)$$42$；$(2)$$260$种 。

迁移应用

如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有 5 种颜色可供使用，那么共有多少种不同的染色方法？

答案： 1. 首先染顶点$S$：
染顶点$S$，有$5$种方法。
2. 然后染顶点$A$：
染顶点$A$，因为$A$与$S$不同色，所以有$4$种方法。
3. 接着染顶点$B$：
染顶点$B$，因为$B$与$S$、$A$不同色，所以有$3$种方法。
4. 再染顶点$C$：
分两种情况讨论：
情况一：当$C$与$A$同色时：
$C$有$1$种染法（与$A$同色），此时$D$有$3$种染法（$D$与$S$、$C$不同色）。
情况二：当$C$与$A$不同色时：
$C$有$2$种染法（$C$与$S$、$B$、$A$不同色），此时$D$有$2$种染法（$D$与$S$、$C$不同色）。
5. 最后根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算：
根据分步乘法计数原理，先染$S$、$A$、$B$，有$5×4×3$种方法。
对于$C$和$D$的染色，根据分类加法计数原理，$C$和$D$的染色方法有$(1×3 + 2×2)$种。
所以总的染色方法有$5×4×3×(1×3 + 2×2)$
先计算$5×4×3=60$，再计算$1×3 + 2×2=3 + 4 = 7$。
则$5×4×3×(1×3 + 2×2)=60×7 = 420$（种）。
综上，共有$420$种不同的染色方法。