《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

11.设(2−$\sqrt{3}$x)¹0=a0+a1x+a2x²+...+
α100x¹0,求下列各式的值.
(1)求ao;
(2)a1+a2+a3+a4+a…,+a100;
(3)a1+a3+a5+...+a9;;
(4)(a0+a2+..+a100)²−(a1+
a3+...+a)²;
(5)|a0l+la1|+...+la10ol.

答案： 11.解
(1)令$x=0$，则$a_{0}=2^{100}$.
(2)令$x=1$，可得$a_{0}+a_{1}+a_{2}+·s+a_{100}=(2-\sqrt{3})^{100}$，①
所以$a_{1}+a_{2}+·s+a_{100}=(2-\sqrt{3})^{100}-2^{100}$.
(3)令$x=-1$，可得$a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+·s+a_{100}=(2+\sqrt{3})^{100}$.②
由$\frac{①-②}{2}$，得$a_{1}+a_{3}+·s+a_{99}=\frac{(2-\sqrt{3})^{100}-(2+\sqrt{3})^{100}}{2}$.
(4)由①②可得，$(a_{0}+a_{2}+·s+a_{100})^{2}-(a_{1}+a_{3}+·s+a_{99})^{2}=(a_{0}+a_{1}+a_{2}+·s+a_{100})(a_{0}-a_{1}+a_{2}-·s+a_{100})=(2-\sqrt{3})^{100}(2+\sqrt{3})^{100}=1$.
(5)$|a_{0}|+|a_{1}|+·s+|a_{100}|$，即为$(2+\sqrt{3}x)^{100}$的展开式中各项系数的和，在$(2+\sqrt{3})^{100}$的展开式中，令$x=1$，可得各项系数的和为$(2+\sqrt{3})^{100}$.

12.已知(+x²)²的展开式的系数和比
(3x−1)”的展开式的系数和大992,求
2n
(22x−$\frac{1}{x}$ 的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.

答案： 12.解 由题意得$2^{2n}-2^{n}=992$，解得$n=5$.
(1)$(2x-\frac{1}{x})^{10}$的展开式中第6项的二项式系数最大，
即$T_{6}=C_{10}^{5}(2x)^{5}\left(-\frac{1}{x}\right)^{5}=-8064$.
(2)设第$k+1$项的系数的绝对值最大，
则$T_{k+1}=C_{10}^{k}(2x)^{10-k}\left(-\frac{1}{x}\right)^{k}=(-1)^{k}·C_{10}^{k}·2^{10-k}· x^{10-2k}$.
$\begin{cases} C_{10}^{k}·2^{10-k}\geqC_{10}^{k-1}·2^{10-k+1},\\ C_{10}^{k}·2^{10-k}\geqC_{10}^{k+1}·2^{10-k-1},\end{cases}$
即$\begin{cases} 11-k\geq2k,\\ 2(k+1)\geq10-k.\end{cases}$
解得$\frac{8}{3}\leq k\leq\frac{11}{3}$，由$k\inN$，知$k=3$，故系数的绝对值最大的是第4项$T_{4}=(-1)^{3}C_{10}^{3}·2^{7}· x^{4}=-15360x^{4}$.