《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

要点 1 事件独立性的判断
典型例题
一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 $ A = $“一个家庭中既有男孩又有女孩”，$ B = $“一个家庭中最多有一个女孩”。对下列两种情形，讨论 $ A $ 与 $ B $ 的独立性：
(1) 家庭中有两个小孩；
(2) 家庭中有三个小孩。
归纳总结
判断两个事件是否相互独立的方法
(1) 直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响。
(2) 定义法：如果事件 $ A $，$ B $ 同时发生的概率等于事件 $ A $ 发生的概率与事件 $ B $ 发生的概率的积，则事件 $ A $，$ B $ 为相互独立事件。
(3) 条件概率法：当 $ P(B) ＞ 0 $ 时，可用 $ P(A|B) = P(A) $ 判断。

答案： 解
(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为$\Omega =${(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为$\frac{1}{4}$.
这时$A =${(男，女)，(女，男)}，$B =${(男，男)，(男，女)，(女，男)}，$AB =${(男，女)，(女，男)}，
于是$P(A)=\frac{1}{2},P(B)=\frac{3}{4},P(AB)=\frac{1}{2}$.
由此可知$P(AB) \neq P(A)P(B)$，所以事件A，B不相互独立.
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为$\Omega =${(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}。
由等可能性知这8个基本事件的概率均为$\frac{1}{8}$，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件.
于是$P(A)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4},P(B)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},P(AB)=\frac{3}{8}$，显然有$P(AB)=P(A)P(B)$成立.
从而事件A与B是相互独立的.

迁移应用
容器中盛有除颜色外完全一样的 $ 5 $ 个白球和 $ 3 $ 个黄球。
(1) “从 $ 8 $ 个球中任意取出 $ 1 $ 个，取出的是白球”与“从剩下的 $ 7 $ 个球中任意取出 $ 1 $ 个，取出的是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？
(2) “从 $ 8 $ 个球中任意取出 $ 1 $ 个，取出的是白球”与“把取出的球放回容器，再从容器中任意取出 $ 1 $ 个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？

答案： 解
(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”记为事件A，“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”记为事件B，
则$P(A)=\frac{5}{8}$，
$P(B)=\frac{5}{8} × \frac{4}{7} + \frac{3}{8} × \frac{5}{7} = \frac{5}{8}$，
$P(A \cap B)=\frac{5 × 4}{8 × 7}=\frac{5}{14}$.
因为$P(A \cap B) \neq P(A)P(B)$，所以二者不是相互独立事件.
(2)因为“把取出的球放回容器”，所以事件A是否发生对“再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件.