《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

1. 判断正误。(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)$(a + b)^n$ 的展开式中共有 $n$ 项。(×)
(2)在公式中，交换 $a$，$b$ 的顺序对各项没有影响。(×)
(3)$C_n^k a^{n - k} b^k$ 是 $(a + b)^n$ 的展开式中的第 $k$ 项。(×)
(4)$(a - b)^n$ 与 $(a + b)^n$ 的展开式的二项式系数相同。(√)

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√

2. $(x + 1)^n$ 的展开式共有 $13$ 项，则 $n$ 等于(D)。

A.$9$
B.$10$
C.$11$
D.$12$

答案： 2.D 解析 由二项式定理的公式特征可知$n=12$.

3. $(y - 2x)^8$ 的展开式中的第 $6$ 项的二项式系数为(C)。

A.$C_8^6$
B.$C_8^5(-2)^5$
C.$C_8^5$
D.$C_8^6(-2)^6$

答案： 3.C 解析 由题意可知$T_{k+1}=C_{8}^{k}y^{8-k}(-2x)^{k}=C_{8}^{k}(-2)^{k}x^{k}y^{8-k}$.
当$k=5$时，二项式系数为$C_{8}^{5}$.

4. 化简：$(x - 1)^4 + 4(x - 1)^3 + 6(x - 1)^2 + 4(x - 1) + 1 =$$x^{4}$。

答案： 4.$x^{4}$ 解析$(x-1)^{4}+4(x-1)^{3}+6(x-1)^{2}+4(x-1)+1=[(x-1)+1]^{4}=x^{4}$.

5. $(2x - \frac{1}{2x})^6$ 的展开式中的常数项为$-20$。

答案： 5.$-20$ 解析$T_{r+1}=C_{6}^{r}(2x)^{6-r}(-1)^{r}(\frac{1}{2x})^{r}=(-1)^{r}C_{6}^{r}2^{6-2r}x^{6-2r}$，
令$6-2r=0$，得$r=3$，
所以$T_{4}=(-1)^{3}C_{6}^{3}=-20$.

要点1 二项式定理的正用、逆用
典型例题
(1)求 $(3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^4$ 的展开式。
(2)化简：$C_n^0 (x + 1)^n - C_n^1 (x + 1)^{n - 1} + C_n^2 (x + 1)^{n - 2} - ·s + (-1)^k C_n^k (x + 1)^{n - k} + ·s + (-1)^n C_n^n$。
归纳总结
运用二项式定理的解题策略
(1)正用：①求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点，前一个字母是降幂，后一个字母是升幂。②形如 $(a - b)^n$ 的展开式中会出现正负间隔的情况。③对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开。
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数。逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是 $(a - b)^n$ 的形式。

答案： 解
(1)方法一：$(3\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})^{4}=(3\sqrt{x})^{4}+C_{4}^{1}(3\sqrt{x})^{3}·(\frac{1}{\sqrt{x}})+C_{4}^{2}(3\sqrt{x})^{2}(\frac{1}{\sqrt{x}})^{2}+C_{4}^{3}(3\sqrt{x})(\frac{1}{\sqrt{x}})^{3}+C_{4}^{4}(\frac{1}{\sqrt{x}})^{4}=81x^{2}+108x+54+\frac{12}{x}+\frac{1}{x^{2}}$.
方法二：$(3\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})^{4}=(\frac{3x+1}{\sqrt{x}})^{4}=\frac{1}{x^{2}}(1+3x)^{4}=\frac{1}{x^{2}}·[1+C_{4}^{1}·3x+C_{4}^{2}(3x)^{2}+C_{4}^{3}(3x)^{3}+C_{4}^{4}(3x)^{4}]=\frac{1}{x^{2}}(1+12x+54x^{2}+108x^{3}+81x^{4})=\frac{1}{x^{2}}+\frac{12}{x}+54+108x+81x^{2}$.
(2)原式$=C_{n}^{0}(x+1)^{n}+C_{n}^{1}(x+1)^{n-1}(-1)+C_{n}^{2}(x+1)^{n-2}(-1)^{2}+·s+C_{n}^{n}(x+1)^{n-k}(-1)^{k}+·s+C_{n}^{n}(-1)^{n}=[(x+1)+(-1)]^{n}=x^{n}$.