《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

迁移应用
平面内有$12$个点，其中有$4$个点共线，此外再无任何$3$点共线.以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？

答案： 解方法一（直接法）：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准.
第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有$C_{4}^{2}C_{8}^{1}=48$个不同的三角形；
第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有$C_{4}^{1}C_{8}^{2}=112$个不同的三角形；
第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有$C_{8}^{3}=56$个不同的三角形.
由分类加法计数原理，知不同的三角形共有$48+112+56=216$个.
方法二（间接法）：从12个点中任意取3个点，有$C_{12}^{3}=220$种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有$C_{4}^{3}=4$种.
故这12个点能构成三角形的个数为$C_{12}^{3}-C_{4}^{3}=216$.

互动探究
组合中的分组、分配问题
探究1 按以下要求分配$6$本不同的书，各有几种方法？
（1）平均分配给甲、乙、丙三人，每人$2$本；
（2）分成三份，一份$1$本，一份$2$本，一份$3$本.
探究2 在探究1（2）条件下，甲、乙、丙三人中，一人得$1$本，一人得$2$本，一人得$3$本，有多少种分法？
探究3 在探究1条件下，若甲、乙、丙三人中，一人得$4$本，另外两个人每人得$1$本，有多少种分法？
归纳总结
分组、分配问题的求解策略
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有$n$组均匀，最后必须除以$n!$；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
（2）分配问题属于“排列”问题.
分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.

答案： 探究1解（1）3个人依次来取书，甲从6本不同的书中任取2本的方法有$C_{6}^{2}$种，乙再从余下的4本书中任取2本有$C_{4}^{2}$种方法，丙把余下的两本书都取走，有$C_{2}^{2}$种方法，所以一共有$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}=90$种方法.
（2）先从6本书中任取1本，作为一份，有$C_{6}^{1}$种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一份，有$C_{5}^{2}$种取法，最后余下的3本书作为一份，有$C_{3}^{3}$种取法，共有方法$C_{6}^{1}C_{5}^{2}C_{3}^{3}=60$种.
探究2解分成三份共有$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{3}^{2}$种分组方法，但每一种分组方法又有$A_{3}^{3}$种不同的分配方案，故一人得1本、一人得2本、一人得3本的分法有$C_{6}^{1}C_{4}^{2}C_{3}^{3}A_{3}^{3}=360$种.
探究3解先分成三份，为部分均匀分组问题，共有$\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}$种分法，再分给三个人共有$\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}· A_{3}^{3}=90$种分法.