《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

11. 坛子里放着 $ 5 $ 个大小、形状都相同的咸鸭蛋，其中有 $ 3 $ 个是绿皮的，$ 2 $ 个是白皮的。如果不放回地依次拿出 $ 2 $ 个鸭蛋，求：
(1) 第 $ 1 $ 次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2) 第 $ 1 $ 次和第 $ 2 $ 次都拿出绿皮鸭蛋的概率；
(3) 在第 $ 1 $ 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第 $ 2 $ 次拿出绿皮鸭蛋的概率。

答案： 11.解 设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件$A \cap B$.
(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋，第1次拿出绿皮鸭蛋的概率$P(A)=\frac{3}{5}$.
(2)因为$n(A \cap B)=3 × 2=6$，所以$P(AB)=\frac{n(A \cap B)}{n(\Omega)}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.
(3)由
(1)
(2)，可得在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为$P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{3}{10}}{ \frac{3}{5}}=\frac{1}{2}$.

12. 一个袋子中，放有大小、形状相同的小球若干，其中标号为 $ 0 $ 的小球有 $ 1 $ 个，标号为 $ 1 $ 的小球有 $ 2 $ 个，标号为 $ 2 $ 的小球有 $ n $ 个。从袋子中任取 $ 2 $ 个小球，取到标号都是 $ 2 $ 的小球的概率是 $ \frac{1}{10} $。
(1) 求 $ n $ 的值；
(2) 从袋子中任取 $ 2 $ 个球，已知其中一个的标号是 $ 1 $ 的条件下，求另一个标号也是 $ 1 $ 的概率。

答案： 12.解
(1)由题意$\frac{C_{n}^{2}}{C_{n+3}^{2}}=\frac{n(n-1)}{(n+3)(n+2)}=\frac{1}{10}$，解得$n=2$(负值舍去).
所以$n=2$.
(2)记“一个球的标号是1”为事件A，“另一个球的标号也是1”为事件B，
所以$P(B|A)=\frac{n(A \cap B)}{n(A)}=\frac{C_{2}^{2}}{C_{3}^{2}-C_{3}^{2}}=\frac{1}{7}$.