《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

11. 若 $A_{n}^{3}=6C_{n}^{4}$，求 $n$ 的值。

答案： 11.解 由题意知$n(n - 1)(n - 2)=6·\frac{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)}{4×3×2×1}$，化简得$\frac{n - 3}{4}=1$，所以$n = 7$.

12. 求不等式 $C_{n}^{2}-n＜5$ 的解集。

答案： 12.解 由$C_{n}^2 - n＜5$，得$\frac{n(n - 1)}{2}-n＜5$，
即$n^2 - 3n - 10＜0$，
解得$-2 ＜ n ＜ 5$.
由题意知$n\geq2$，且$n\in N_+$，
则$n = 2,3,4$.
故原不等式的解集为$\{2,3,4\}$.

13. 一个口袋内装有大小、质地相同的 $7$ 个白球和 $1$ 个黑球。
(1)从口袋内取出 $3$ 个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出 $3$ 个球，使其中含有 $1$ 个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出 $3$ 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

答案： 13.解
(1)从口袋内的8个球中取出3个球，
取法种数是$C_{8}^3=\frac{8×7×6}{3×2×1}=56$.
(2)从口袋内取出3个球，有1个是黑球，还要从7个白球中再取出2个，取法种数是$C_{7}^2=\frac{7×6}{2×1}=21$.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是$C_{7}^3=\frac{7×6×5}{3×2×1}=35$.