《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

1. 某乒乓球队有$9$名队员，其中$2$名是种子选手，现在挑选$5$名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有(C).

A.$26$种
B.$84$种
C.$35$种
D.$21$种

答案： 1.C解析从除种子选手外的7名队员中选出3人即可，有$C_{7}^{3}=\frac{7×6×5}{3×2×1}=35$种选法.

2. 身高各不相同的$7$名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是(D).

A.$5040$
B.$36$
C.$18$
D.$20$

答案： 2.D解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有$C_{6}^{3}=20$种.

3. 在平面直角坐标系$xOy$中，平行直线$x = n(n = 0,1,2,·s,5)$与平行直线$y = n(n = 0,1,2,·s,5)$组成的图形中，矩形共有(D).

A.$25$个
B.$36$个
C.$100$个
D.$225$个

答案： 3.D解析从垂直于$x$轴的6条直线中任取2条，从垂直于$y$轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形个数为$C_{6}^{2}C_{6}^{2}=15×15=225$.

4. 从$4$名男生和$3$名女生中选出$4$人担任志愿者，若选出的$4$人中既有男生又有女生，则不同的选法共有34种.

答案： 4.34解析男生和女生共7人，从7人中选出4人，有$C_{7}^{4}$种选法.若选出的4人都是男生，有$C_{4}^{4}$种选法，故选出的4人中既有男生又有女生，共有$C_{7}^{4}-C_{4}^{4}=34$种不同的选法.

5. 从$0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$这$6$个数中每次取$3$个不同的数，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有40个.

答案： 5.40解析先选取3个不同的数，有$C_{6}^{3}$种选法；再把其中最大的数放在百位上，另2个不同的数放在十位和个位上，有$A_{2}^{2}$种放法，故共有$C_{6}^{3}A_{2}^{2}=40$个三位数.

典型例题
在一次数学竞赛中，某学校有$12$人通过了初试，学校要从中选出$5$人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？
（1）任意选$5$人；
（2）甲、乙、丙三人必须参加；
（3）甲、乙、丙三人不能参加；
（4）甲、乙、丙三人只能有$1$人参加.
归纳总结
解答简单的组合问题的方法
（1）弄清要做的这件事是什么.
（2）选出的元素是否与顺序有关，也就是看是不是组合问题.
（3）结合两个基本计数原理，利用组合数公式求出结果.

答案： （1）从12人中任选5人，共有$C_{12}^{5}=792$种不同的选法.
（2）甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，共有$C_{9}^{2}=36$种不同的选法.
（3）甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有$C_{9}^{5}=126$种不同的选法.
（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有$C_{3}^{1}$种选法；再从另外9人中选4人，有$C_{9}^{4}$种选法.共有$C_{3}^{1}C_{9}^{4}=378$种不同的选法.