《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

要点 2 两个计数原理的综合应用
典型例题
现有 5 幅不同的国画，2 幅不同的油画，7 幅不同的水彩画。
（1）从中任选一幅画布置房间，共有几种不同的选法？
（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，共有几种不同的选法？
（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，共有几种不同的选法？
归纳总结
1 当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，再从这几种方法中归纳出解题方法。
2 分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律。

答案： 典型例题
解
(1)将所有画分为三类：从国画中选一幅，有5种不同的选法；
从油画中选一幅，有2种不同的选法；从水彩画中选一幅，有7种不同的选法.
根据分类加法计数原理，共有5+2+7=14种不同的选法.
(2)从国画、油画、水彩画中各选一幅，分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7=70种不同的选法.
(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，另一幅选自油画，有5×2=10种不同的选法；
第二类是一幅选自国画，另一幅选自水彩画，有5×7=35种不同的选法；
第三类是一幅选自油画，另一幅选自水彩画，有2×7=14种不同的选法.
所以共有10+35+14=59种不同的选法.

迁移应用
在 7 名学生中，有 3 名会下象棋但不会下围棋，有 2 名会下围棋但不会下象棋，另 2 名既会下象棋又会下围棋。现在从 7 人中选 2 人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？

答案：

迁移应用

解 选参加象棋比赛的学生有两种方法，在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种方法，在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选.互相搭配，可得四类不同的选法.

从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2=6种选法；

从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2=6种选法；

从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2=4种选法；

2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法.

所以共有6+6+4+2=18种选法.