《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

要点 2 排队问题
命题角度 1 元素“相邻”与“不相邻”问题
典型例题
3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数。
（1）全体站成一排，男、女各站在一起；
（2）全体站成一排，男生必须站在一起；
（3）全体站成一排，男生不相邻；
（4）全体站成一排，男、女各不相邻。
归纳总结
处理元素“相邻”与“不相邻”问题应遵循“先整体后局部”的原则。解决元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，再松绑，将这若干个元素内部全排列。解决元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，再在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素。

答案： 解
(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有$A_3^3$种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有$A_4^4$种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有$A_2^2$种排法．由分步乘法计数原理，知共有$A_3^3A_4^4A_2^2=288$种排队方法．
(2)3名男生全排列有$A_3^3$种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有$A_5^5$种排法．故有$A_3^3A_5^5=720$种排队方法．
(3)安排女生，共有$A_4^4$种排法；男生在4名女生隔成的五个空中安排，共有$A_5^3$种排法，故共有$A_4^4A_5^3=1440$种排法．
(4)排好男生后让女生插空，共有$A_3^3A_4^4=144$种排法．

迁移应用
某次文艺晚会上共演出 8 个节目，其中 2 个唱歌节目、3 个舞蹈节目和 3 个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？
（1）一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；
（2）2 个唱歌节目互不相邻；
（3）2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻。

答案： 解
(1)先排唱歌节目有$A_2^2$种排法，再排其他节目有$A_6^6$种排法，所以共有$A_2^2A_6^6=1440$种排法．
(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有$A_6^6$种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有$A_7^2$种方法，所以共有$A_6^6A_7^2=30240$种排法．
(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共$A_4^4$种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有$A_5^3$种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有$A_2^2$种排法，故所求排法共有$A_4^4A_5^3A_2^2=2880$种排法．