《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

自主梳理
1. 相互独立事件的定义和性质
(1) 定义：一般地，当P(AB)=P(A)P(B)时，就称事件 $ A $ 与 $ B $ 相互独立(简称独立)。事件 $ A $ 与 $ B $ 相互独立的直观理解是，事件 $ A $ 是否发生不会影响事件 $ B $ 发生的概率，事件 $ B $ 是否发生也不会影响事件 $ A $ 发生的概率。
(2) 性质：① 如果事件 $ A $ 与 $ B $ 相互独立，则 $ \overline{A} $ 与 $ B $，$ A $ 与 $ \overline{B} $，$ \overline{A} $ 与 $ \overline{B} $ 也相互独立。
② 两个相互独立事件 $ A $，$ B $ 都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AB)=P(A)P(B)。
③ 如果事件 $ A $ 与 $ B $ 相互独立，那么 $ P(B|A) = $P(B)，$ P(A|B) = $P(A)。
名师点津
判断两个事件是否相互独立的方法
(1) 利用 $ P(AB) = P(A)P(B) $ 可以准确地判断两个事件是否相互独立，这是用定量计算的方法进行判断，较准确，应熟练掌握。
(2) 判断两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件。

答案： 1.
(1)P(AB)=P(A)P(B)
(2)①相互独立 ②积 P(AB)=P(A)P(B)
③P(B) P(A)

2. $ n $ 个事件相互独立
对于 $ n $ 个事件 $ A_1 $，$ A_2 $，$·s$，$ A_n $，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称 $ n $ 个事件 $ A_1 $，$ A_2 $，$·s$，$ A_n $ 相互独立。
名师点津
1. 多个事件独立的求法
两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“$ A_1 $，$ A_2 $，$·s$，$ A_n $ 相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”。多个事件独立具有与两个事件独立类似的性质。若事件 $ A_1 $，$ A_2 $，$·s$，$ A_n $ 相互独立，则 $ P(A_1A_2·s A_n) = P(A_1) × P(A_2) × ·s × P(A_n) $。
2. 常见互斥事件和相互独立事件的概率

答案： 2.任一个事件

3. 独立性与条件概率的关系
如果 $ P(A|B) = $P(A)，那么一定有 $ P(AB) = P(A)P(B) $。因此当 $ P(B) ＞ 0 $ 时，$ A $ 与 $ B $ 独立的充要条件是 $ P(A|B) = $P(A)。
名师点津
与相互独立事件 $ A $，$ B $ 有关的概率计算公式

自测反馈

答案： 3.P(A) P(A)