《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

1. 判断正误.(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)$X$的概率密度函数中参数$\mu,\sigma$的意义分别是样本的均值与方差. (×)
(2)正态曲线是一条钟形曲线. (√)
(3)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述. (×)

答案： 1.
(1)×　
(2)√　
(3)×

2. 已知随机变量$X$服从正态分布$N(2,\sigma^2)$，则$P(X\lt2)$的值为(D).

A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 2.D解析由题意知X的均值为2，因此P(X＜2)=$\frac{1}{2}$.

3. 若正态曲线关于$y$轴对称，则它所对应的正态总体均值为(C).

A.$1$
B.$-1$
C.$0$
D.不确定

答案： 3.C解析由正态曲线性质知均值为0.

4. 已知随机变量$X$服从正态分布，且$X$的概率密度函数$\varphi(x)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - 5)^2}{8}}$，则$X$在$[3,7]$内取值的概率为0.683.

答案： 4.0.683　解析由题意可知X~N(5,4)，且μ=5，σ=2，所以P(3≤X≤7)=P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.683.

5. 在某项测量中，测量结果$X$服从正态分布$N(1,\sigma^2)(\sigma\gt0)$.若$X$在$(0,1)$内取值的概率为$0.4$，则$X$在$(0,2)$内取值的概率为0.8.

答案： 5.0.8　解析X服从正态分布N(1,σ²)，故X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为0.4.故X在(0,2)内取值的概率为0.4 + 0.4 = 0.8.

典型例题
一个正态分布的图象如图所示，试根据该图象写出正态分布的概率密度函数，求出随机变量总体的均值和方差.

归纳总结
利用正态曲线的性质可以求参数$\mu,\sigma$
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线$x=\mu$对称，由此性质结合图象求$\mu$.
(2)正态曲线在$x=\mu$处达到峰值$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$，由此性质结合图象可求$\sigma$.
(3)由曲线的胖瘦区分$\sigma$的大小.

答案： 解从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x = 20对称，最大值是$\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$，所以μ = 20.由$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$，解得σ = $\sqrt{2}$.于是该正态分布的概率密度函数是φ(x) = $\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{(x - 20)^2}{4}}$，x∈(−∞,+∞)，随机变量总体的均值μ = 20，方差σ² = ($\sqrt{2}$)² = 2.