《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

命题角度 2 元素“在”与“不在”问题
典型例题
六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不能在两端；
（2）甲、乙必须在两端；
（3）甲不在最左端，乙不在最右端。
归纳总结
“在”与“不在”的排列问题的解题原则及方法
（1）原则：解“在”与“不在”这两类有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是“谁特殊谁优先”。
（2）方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置。
提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底。不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类或分步混乱，导致解题错误。

答案： 解
(1)先考虑甲有$A_4^1$种方案，再考虑其余5人全排列，故有$A_4^1A_5^5=480$种站法；
(2)先安排甲、乙有$A_2^2$种方案，再安排其余4人全排列，故有$A_2^2A_4^4=48$种站法；
(3)方法一：甲在最左端的站法有$A_5^5$种，乙在最右端的站法有$A_5^5$种，且甲在最左端而乙在最右端的站法有$A_4^4$种，共有$A_6^6-2A_5^5+A_4^4=504$种站法．方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站最右端有$A_5^5$种站法．②甲在中间4个位置之一，而乙不在最右端有$A_4^1A_4^1A_4^4$种站法．故共有$A_5^5+A_4^1A_4^1A_4^4=504$种站法．

迁移应用
某一天的课程表要排入思想政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？

答案： 解 6门课总的排法是$A_6^6$，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有$A_5^5$种排法；数学排在最后一节，有$A_5^5$种排法，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，这种情况有$A_4^4$种排法．因此符合条件的排法有$A_6^6-2A_5^5+A_4^4=504$种．