《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

互动探究2 求二项展开式中的特定项
探究1
已知 $(\sqrt{x} - \frac{2}{x})^n$ 的展开式中第 $3$ 项的系数比第 $2$ 项的系数大 $162$，求：
(1)$n$ 的值；
(2)展开式中含 $x^3$ 的项。
探究2 [变问法]
在探究1的条件下，求二项展开式的常数项。
探究3 [变问法]
在探究1的条件下，求二项展开式的所有有理项。
归纳总结
求二项展开式特定项的步骤

答案： 探究1 解
(1)由已知得$T_{3}=C_{n}^{2}(\sqrt{x})^{n-2}(-\frac{2}{x})^{2}=4C_{n}^{2}x^{\frac{n-6}{2}},T_{2}=C_{n}^{1}(\sqrt{x})^{n-1}(-\frac{2}{x})=-2C_{n}^{1}x^{\frac{n-3}{2}}$，
依题意得$4C_{n}^{2}+2C_{n}^{1}=162$，
所以$2C_{n}^{2}+C_{n}^{1}=81$，
所以$n^{2}=81,n\inN_{+},n=9$.
(2)$T_{r+1}=C_{9}^{r}(\sqrt{x})^{9-r}(-\frac{2}{x})^{r}=(-2)^{r}C_{9}^{r}x^{\frac{9-3r}{2}}$，
令$\frac{9-3r}{2}=3$，解得$r=1$，
所以第2项为含$x^{3}$的项，
即$T_{2}=-2C_{9}^{1}x^{3}=-18x^{3}$.
探究2 解 由已知得$T_{r+1}=(-2)^{r}C_{9}^{r}x^{\frac{9-3r}{2}}$，若$T_{r+1}$为常数项，则$\frac{9-3r}{2}=0$，所以$r=3$，因此常数项为第4项，$T_{4}=(-2)^{3}C_{9}^{3}=-672$.
探究3 解 由已知得$T_{r+1}=(-2)^{r}C_{9}^{r}x^{\frac{9-3r}{2}}$，
当且仅当$\frac{9-3r}{2}$为整数时，$T_{r+1}$为有理项.
因为$0\leq r\leq9,r\inN$，
所以$r=1,3,5,7,9$，
即展开式中的有理项共5项，它们是$T_{2}=-18x^{3},T_{4}=-672,T_{6}=-\frac{4032}{x^{3}},T_{8}=-\frac{4608}{x^{6}},T_{10}=-\frac{512}{x^{9}}$.