《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

典型例题
在某次考试中，从 $ 20 $ 道题中随机抽取 $ 6 $ 道题，若考生至少能答对其中的 $ 4 $ 道即可合格；若至少能答对其中 $ 5 $ 道就获得优秀。已知某考生能答对其中 $ 10 $ 道题，并且知道他在这次考试中已经合格，求他获得优秀的概率。
归纳总结
条件概率的解题策略
求较复杂事件的概率时，一般先把它分解成两个（或若干个）互不相容的较简单的事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率。

答案： 解 设事件A为“该考生6道题全答对”，
事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，
事件C为“该考生答对了其中4道题，另两道答错”，
事件D为“该考生在这次考试中合格”，
事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”.
则A，B，C两两互斥，且$D=A \cup B \cup C$，$E=A \cup B$，
由古典概型的概率公式及加法公式可知，
$P(D)=P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)=$
$\frac{C_{6}^{6}}{C_{20}^{6}}+\frac{C_{10}^{5} × C_{10}^{1}}{C_{20}^{6}}+\frac{C_{10}^{4} × C_{2}^{2}}{C_{20}^{6}}=\frac{12180}{C_{20}^{6}}$.
$P(E|D)=P((A \cup B)|D)=P(A|D)+P(B|D)=\frac{P(A)}{P(D)}+\frac{P(B)}{P(D)}=\frac{\frac{C_{6}^{6} × C_{10}^{0}}{C_{20}^{6}}}{\frac{12180}{C_{20}^{6}}}+\frac{\frac{C_{6}^{5} × C_{10}^{1}}{C_{20}^{6}}}{\frac{12180}{C_{20}^{6}}}=\frac{13}{58}$.
他获得优秀的概率是$\frac{13}{58}$.

迁移应用
有 $ 400 $ 名男人和 $ 400 $ 名女人，男人中有 $ 5\% $ 患色盲，女人中有 $ 0.25\% $ 患色盲，从这 $ 800 $ 人中任选一人。
(1) 求此人患色盲的概率；
(2) 如果此人是色盲，求此人是男人的概率。

答案： 解 设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.
(1)此人患色盲的概率$P(C)=P(A \cap C)+P(B \cap C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=\frac{400}{800} × \frac{5}{100}+\frac{400}{800} × \frac{0.25}{100}=\frac{21}{800}$.
(2)$P(A|C)=\frac{P(A \cap C)}{P(C)}=\frac{\frac{5}{21}}{\frac{21}{800}}=\frac{20}{21}$.