《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

迁移应用
判断下列问题是不是排列问题，并说明理由。
(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名同学参加一项活动，其中一名同学参加活动$A$，另一名同学参加活动$B$，共有多少种不同的选法？
(2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名同学参加一项活动，共有多少种不同的选法？
(3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和，可以得到多少个不同的结果？
(4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商，可以得到多少个不同的结果？
(5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三名学生坐到这四个空位中的三个上，共有多少种不同的安排方法？

答案： 解
(1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中.
(2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分.
(3)不是排列问题，因为选出的两个三位数求和对顺序没有要求.
(4)是排列问题，因为选出的两个三位数求商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列问题.
(5)是排列问题，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三名学生.

互动探究
排列的列举问题
探究1 四个人$A$，$B$，$C$，$D$坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来。
探究2 [变条件]若探究1中再增加一条“A不坐两端”的条件，则结论如何？
探究3 [变条件]若在探究1中再增加一条“A，B不相邻”的条件，则结论如何？
归纳总结
利用“树形图”解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围：排列元素个数不多的问题。
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序列出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列。这样能做到不重不漏，再按树形图写出排列。

答案：
探究1　解安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有$4×3×2×1 = 24$种坐法.
画出树形图如图所示.

由树形图可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DABC，DACB，DBCA，DCAB，DCBA.
探究2　解画出树形图如图所示.

由树形图可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DACB，DABC，DBAC，DCAB，共12种坐法.
探究3　解画出树形图如图所示.

由树形图可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA，共12种.