《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

迁移应用
(1)若 $A_{n}^{3}=12C_{n}^{2}$，则 $n=$8。
(2)解不等式 $\frac{1}{C_{n}^{3}}-\frac{1}{C_{n}^{4}}＜\frac{2}{C_{n}^{5}}$。
互动探究
组合数性质的应用
探究 1 (1)计算：$C_{4}^{3}+C_{5}^{3}+C_{6}^{3}+·s+C_{10}^{3}$；
(2)解方程：$C_{18}^{3n + 6}=C_{18}^{4n - 2}$；
(3)解方程：$C_{n + 1}^{7}-C_{n}^{7}=C_{n}^{8}$。
探究 2 将探究 1(1)改为：计算 $C_{5}^{5}+C_{6}^{5}+C_{7}^{5}+C_{8}^{5}+C_{9}^{5}+C_{10}^{5}$。如何求解？
探究 3 将探究 1(1)改为：$C_{3}^{2}+C_{4}^{2}+C_{5}^{2}+·s+C_{n}^{2}=363$，则正整数 $n=$13。
归纳总结
1 计算时应注意利用组合数的性质 $C_{n}^{m}=C_{n}^{n - m}$ 简化运算。
2 在连续使用“$C_{n}^{m}+C_{n}^{m+1}=C_{n + 1}^{m+1}$”时，一定要掌握该性质两边的上、下标字母的特征，并注意观察待化简的组合式的特征。
3 与排列、组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质。当求解时，要注意由 $C_{n}^{m}$ 中的 $m,n\in N_{+}$，且 $n\geq m$ 确定 $m,n$ 的范围，因此求解后要验证所得结果是否符合题意。

答案： 迁移应用
(1)8 解析$\because A_{n}^3 = n(n - 1)(n - 2),C_{n}^2=\frac{1}{2}n(n - 1)$，
$\therefore n(n - 1)(n - 2)=6n(n - 1)$.
又$n\in N_+$，且$n\geq3$，
$\therefore n = 8$.
(2)解 由已知得$n\geq5$且$n\in N_+$.
$\therefore\frac{1}{C_{n}^3}-\frac{1}{C_{n}^4}＜\frac{2}{C_{n}^5}$，
$\therefore\frac{6}{n(n - 1)(n - 2)}-\frac{24}{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)}＜\frac{240}{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)}$，
$\because n\geq5$，
$\therefore n(n - 1)(n - 2)＞0$，
原不等式化简得$n^2 - 11n - 12＜0$，
解得$-1 ＜ n ＜ 12$.
结合$n\geq5$且$n\in N_+$，
得$n = 5,6,7,8,9,10,11$，
原不等式的解集为$\{5,6,7,8,9,10,11\}$.
互动探究
探究1 解
(1)$C_{3}^3 + C_{4}^3 + C_{5}^3 + ·s + C_{10}^3 = C_{4}^4 + C_{4}^3 + C_{5}^3 + ·s + C_{10}^3 - C_{4}^4 = C_{4}^3 + ·s + C_{10}^3 - C_{4}^4 = ·s = C_{11}^4 - 1 = 329$.
(2)由原方程及组合数性质，可知
$3n + 6 = 4n - 2$或$3n + 6 = 18 - (4n - 2)$，
解得$n = 8$或$n = 2$.
而当$n = 8$时，$3n + 6 = 30＞18$，不符合组合数定义，故舍去.
因此$n = 2$.
(3)由$C_{n + 1}^7 - C_{n}^7 = C_{n}^7$可得$C_{n + 1}^7 = C_{n}^8 + C_{n}^7$.
由组合数的性质，可得$C_{n + 1}^7 = C_{n + 1}^8$，
故$8 + 7 = n + 1$，
解得$n = 14$.
探究2 解 原式$=C_{6}^6 + C_{6}^2 + C_{5}^5 + C_{5}^2 + C_{8}^5 + C_{5}^2 = C_{6}^6 + C_{6}^2 + C_{5}^5 + C_{8}^5 + ·s = C_{10}^6 + C_{10}^5 = C_{11}^6 = C_{11}^5 = \frac{11×10×9×8×7}{5×4×3×2×1}=462$.
探究3 13 解析 由$C_{3}^2 + C_{4}^2 + C_{5}^2 + ·s + C_{n}^2 = 363$，得
$1 + C_{3}^2 + C_{4}^2 + C_{5}^2 + ·s + C_{n}^2 = 364$，
即$C_{3}^3 + C_{3}^2 + C_{4}^2 + C_{5}^2 + ·s + C_{n}^2 = 364$.
因为$C_{3}^3 + C_{3}^2 + C_{4}^2 + C_{5}^2 + ·s + C_{n}^2 = C_{3}^3 + C_{4}^3 + C_{5}^3 + ·s + C_{n}^3 = ·s = C_{n + 1}^3$，
所以$C_{n + 1}^3 = 364$，
所以$\frac{(n + 1)n(n - 1)}{3×2×1}=364$，
又因为$n$是正整数，所以解得$n = 13$.