《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

迁移应用
已知随机变量 $ \xi $ 的分布列为

若 $ \eta = a\xi + 3 $，$ E(\eta) = \frac{7}{3} $，则 $ a $ 的值为(B).

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： B　解析由分布列的性质得$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + m = 1$，
　　所以$m = \frac{1}{6}$，
　　所以$E(\xi)= - 1×\frac{1}{2} + 0×\frac{1}{3} + 1×\frac{1}{6} = -\frac{1}{3}$.
　　方法一：$E(\eta)=E(a\xi + 3)=aE(\xi) + 3 = -\frac{1}{3}a + 3 = \frac{7}{3}$.
　　所以$a = 2$.
　　方法二：因为$\eta = a\xi + 3$，
　　所以$\eta$的分布列为
　　$\eta$　$-a + 3$　$3$　$a + 3$
　　　　$P$　　$\frac{1}{2}$　　$\frac{1}{3}$　　$\frac{1}{6}$
　　$E(\eta)=(-a + 3)×\frac{1}{2} + 3×\frac{1}{3} + (a + 3)×\frac{1}{6} = \frac{7}{3}$，所以$a = 2$.

典型例题
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关. 某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 $ 2 $ 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 $ 50 $ 辆，统计数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 $ X_1 $，生产一辆乙品牌轿车的利润为 $ X_2 $，分别求 $ X_1, X_2 $ 的分布列；
(3)该厂由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车. 若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由.

归纳总结
解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，并根据期望的大小作出判断.

答案： 解
(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件$A$，
　　则$P(A)=\frac{2 + 3}{50} = \frac{1}{10}$.
(2)依题意得，$X_1$的分布列为
　　　　　　　$X_1$　$1$　　$2$　　$3$
　　　　　　　　$P$　$\frac{1}{25}$　$\frac{3}{50}$　$\frac{9}{10}$
　　$X_2$的分布列为
　　　　　　　$X_2$　$1.8$　　$2.9$
　　　　　　　　$P$　　$\frac{1}{10}$　　$\frac{9}{10}$
(3)由
(2)得，$E(X_1)=1×\frac{1}{25} + 2×\frac{3}{50} + 3×\frac{9}{10} = 2.86$(万元)，$E(X_2)=1.8×\frac{1}{10} + 2.9×\frac{9}{10} = 2.79$(万元).
　　因为$E(X_1)＞E(X_2)$，
　　所以应生产甲品牌轿车.