《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

10.某旅游公司为3个旅游团提供了甲、乙、
丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条,
(1)求3个旅游团选择3条不同线路的
概率;
(2)求恰有2条线路没有被选择的概率;
(3)求选择甲线路的旅游团个数X的分布列.

答案： 10.解
(1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为$P_1=\frac{A_4^3}{4^3}=\frac{3}{8}$.
(2)恰有2条线路没有被选择的概率为$P_2=\frac{C_3^2C_2^2A_2^2}{4^3}=\frac{9}{16}$.
(3)由题意知，选择甲线路的旅游团个数$X$的所有可能取值是0,1,2,3，
于是$P(X=0)=\frac{3^3}{4^3}=\frac{27}{64}$，$P(X=1)=\frac{C_3^1×3^2}{4^3}=\frac{27}{64}$，$P(X=2)=\frac{C_3^2×3^1}{4^3}=\frac{9}{64}$，$P(X=3)=\frac{C_3^3}{4^3}=\frac{1}{64}$.
所以$X$的分布列为
$X$ 0 1 2 3
$P$ $\frac{27}{64}$ $\frac{27}{64}$ $\frac{9}{64}$ $\frac{1}{64}$

11.袋中装着外形完全相同且标有数字1,
2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3
个小球，按3个小球上最大数字的9倍
计分，每个小球被取出的可能性都相等，
用X表示取出的3个小球上的最大数
字，求:
(1)一次取出的3个小球上的数字互不
相同的概率;
(2)随机变量X的分布列;
(3)计算介于20分到40分之间的概率.

答案： 11.解
(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为$A$，
则$P(A)=\frac{C_5^3C_1^1C_1^1C_1^1}{C_{10}^3}=\frac{2}{3}$.
(2)由题意，知$X$的所有可能取值为2,3,4,5，$P(X=2)=\frac{C_2^2C_1^1+C_1^1C_2^2}{C_{10}^3}=\frac{1}{30}$，$P(X=3)=\frac{C_2^2C_4^1+C_4^1C_2^2}{C_{10}^3}=\frac{2}{15}$，$P(X=4)=\frac{C_6^2C_1^1+C_1^1C_6^2}{C_{10}^3}=\frac{3}{10}$，$P(X=5)=\frac{C_8^2C_1^1+C_1^1C_8^2}{C_{10}^3}=\frac{8}{15}$.
所以随机变量$X$的分布列为
$X$ 2 3 4 5
$P$ $\frac{1}{30}$ $\frac{2}{15}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{8}{15}$
(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”记为事件$C$，则$P(C)=P(X=3)+P(X=4)=\frac{2}{15}+\frac{3}{10}=\frac{13}{30}$.