《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

5. 某班级星期一要排 5 节课，语文、数学、英语、音乐、体育各 1 节。考虑到学生学习的效果，第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有(C)。

A.11 种
B.16 种
C.20 种
D.30 种

答案： 5.C 解析 把语文和英语看作一个整体与数学全排列，形成了三个空，把音乐和体育插入到其中2个空中，有$A_2^2A_2^2A_3^2=24$种．若第一节排数学，则第3，4节只能排语文和英语，第2，5只能排音乐和体育，有$A_2^2A_2^2=4$种．因为第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，所以不同的排课方式有24－4＝20种．

6. 由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有(B)。

A.210 个
B.300 个
C.464 个
D.600 个

答案： 6.B 解析 由于组成没有重复数字的六位数，个位数字小于十位数字的与个位数字大于十位数字的一样多，故有$\frac{5A_5^5}{2}=300$个．

7. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天安排 1 人，每人值班 1 天。若 7 位员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在 10 月 1 日值班，丁不在 10 月 7 日值班，则不同的安排方案共有(D)。

A.504 种
B.960 种
C.1 108 种
D.1 008 种

答案： 7.D 解析 由题意知，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班的方案共有$A_2^2A_6^6=1440$种，其中满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班的方案共有$A_2^2A_5^5=240$种，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丁在10月7日值班的方案共有$A_2^2A_5^5=240$种，满足甲、乙两人安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有$A_2^2A_4^4=48$种．因此满足题意的方案共有$1440-2×240+48=1008$种．

8. 在 1，2，3，4，5，6，7 的任一排列 $ a_{1} $，$ a_{2} $，$ a_{3} $，$ a_{4} $，$ a_{5} $，$ a_{6} $，$ a_{7} $ 中，相邻两数都互质的排列方法种数为(C)。

A.576
B.720
C.864
D.1 152

答案： 8.C 解析 先把数字1，3，5，7作全排列，有$A_4^4$种排法；再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除3的左、右2个空外，还有3个空可排数字6，故数字6有3种排法；最后排数字2，4，数字2，4不与6相邻且数字2与4不相邻，在剩下的4个空中排2，4，有$A_4^2$种排法．根据分步乘法计数原理，共有$A_4^4×3×A_4^2=864$种排法．故选C．

9. 将数字 1，1，2，2，3，3 排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有(A)。

A.12 种
B.18 种
C.24 种
D.36 种

答案： 9.A 解析 第一行的两列排列种数有$A_3^2=2×3=6$种，然后第二行和第三行的第一列的排列种数有$A_2^2=2×1=2$种，最后第二行和第三行的第二列就只有一种排法，由分步乘法计数原理可得完成这件事不同的排列方法共有$6×2×1=12$种．故选A．

10. 5 个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有72种。

答案： 10.72 解析 甲、乙两人相邻共有$A_2^2A_4^4$种排法，则甲、乙两人之间至少有一人共有$A_5^5-A_2^2A_4^4=72$种排法．

11. 六个停车位置，有 3 辆汽车需要停放，要使三个空位连在一起，则不同的停放方法种数为24。

答案： 11.24 解析 把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素进行全排列，故停放的方法有$A_4^4=4×3×2×1=24$种．

12. 从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加 $ 4×100\ m $ 接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，共有240种参赛方案。

答案： 12.240 解析 方法一：从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分两类：第1类，甲不参赛，有$A_5^4$种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有$A_5^3$种方法，此时有$2A_5^3$种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有$A_5^4+2A_5^3=240$种．方法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有$A_5^2$种方法；其余两棒从剩余4人中选，有$A_4^2$种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有$A_5^2A_4^2=240$种．方法三(排除法)：不考虑甲的约束，6人占4个位置，有$A_6^4$种安排方法，剔除甲跑第一棒和第四棒的参赛方案有$2A_5^3$种，所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有$A_6^4-2A_5^3=240$种．

13. 用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数有多少个？

答案： 13.解 第一步，1，2必相邻有$A_2^2$种排法；第二步，在5个位置上任取1个位置排有5种方法；第三步，在与1，2相邻的一个位置上排有2种方法；第四步，在下一个位置上仍有2种方法；第五步，其余2个位置只有1种排法．故满足题意的六位数共有$A_2^2×5×2×2×1=40$个．