《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

【变式训练 2】从 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字中，任取 3 个数字组成无重复数字的三位数，其中若有 1 和 3 时，3 必须排在 1 的前面；若只有 1 和 3 中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有60个。(填数字)

答案： 变式训练2 60 解析1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类.
分三类：①没有数字1和3时，有$A_{4}^{3}$个满足条件的三位数；
②只有1和3中的一个时，有$2A_{4}^{2}$个满足条件的三位数；
③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空档中的1个即可，有$C_{4}^{1}C_{3}^{1}$个满足条件的三位数.所以满足条件的三位数共有$A_{4}^{3}+2A_{4}^{2}+C_{4}^{1}C_{3}^{1}=60$个.

【典型例题 3】设集合 $ S = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} $，集合 $ A = \{ a_1,a_2,a_3 \} $ 是 S 的子集，且 $ a_1,a_2,a_3 $ 满足 $ a_1 ＜ a_2 ＜ a_3 $，$ a_3 - a_2 \leq 6 $，那么满足条件的集合 A 的个数为(C)。

A.78
B.76
C.83
D.84

答案： 典型例题3 C 解析 若从正面考虑，则需分当$a_{3}=9$时，$a_{2}$可以取8,7,6,5,4,3，共6类；
当$a_{3}=8$时，$a_{2}$可以取7,6,5,4,3,2，共6类；…，分类较多，而其对立面$a_{3}-a_{2}＞6$包含的情况较少，当$a_{3}=9$时，$a_{2}$取2，$a_{1}$取1，只有这一种情况，利用“正难则反”思想解决.
集合S的含有三个元素的子集的个数为$C_{9}^{3}=84$.
在这些含有三个元素的子集中能满足$a_{1}＜a_{2}＜a_{3}$且$a_{3}-a_{2}＞6$的集合只有{1,2,9}，故满足题意的集合A的个数为84-1=83.

【变式训练 3】(2022·新高考卷Ⅰ)从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为(D)。

A.$ \frac{1}{6} $
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{2}{3} $

答案： 变式训练3 D 解析 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有$C_{7}^{2}=21$种不同的取法，若两数不互质，则不同的取法有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,6)，(4,6)，(4,8)，(6,8)，共7种，故所求概率$P=\frac{21 - 7}{21}=\frac{2}{3}$.
故选D.

【典型例题 4】若 $ (x^2 - 3x + 2)^5 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ·s + a_{10}x^{10} $。
（1）求 $ a_2 $；
（2）求 $ a_1 + a_2 + ·s + a_{10} $；
（3）求 $ (a_0 + a_2 + a_4 + ·s + a_{10})^2 - (a_1 + a_3 + ·s + a_7 + a_9)^2 $。

答案： 典型例题4 解
(1)$(x^{2}-3x + 2)^{5}=(x - 1)^{5}(x - 2)^{5}$，
$a_{2}$是展开式中$x^{2}$的系数，
$a_{2}=C_{5}^{3}(-1)^{5}C_{5}^{3}(-2)^{3}+C_{5}^{4}(-1)^{4}C_{5}^{4}(-2)^{4}=800$.
(2)令$x = 1$，得$a_{0}+a_{1}+a_{2}+·s+a_{10}=0$，
令$x = 0$，得$a_{0}=32$，$a_{1}+a_{2}+·s+a_{10}=-32$.
(3)令$x=-1$，可得$(a_{0}+a_{2}+a_{4}+·s+a_{10})-(a_{1}+a_{3}+·s+a_{7}+a_{9})=6^{5}$.
又$(a_{0}+a_{2}+a_{4}+·s+a_{10})+(a_{1}+a_{3}+·s+a_{7}+a_{9})=0$，把这两个等式相乘，可得$(a_{0}+a_{2}+a_{4}+·s+a_{10})^{2}-(a_{1}+a_{3}+·s+a_{7}+a_{9})^{2}=6^{5}×0=0$.

【变式训练 4】若 $ (x^2 + 1)(x - 3)^9 = a_0 + a_1(x - 2) + a_2(x - 2)^2 + a_3(x - 2)^3 + ·s + a_{11}(x - 2)^{11} $，则 $ a_1 + a_2 + a_3 + ·s + a_{11} $ 的值为5。

答案： 变式训练4 5 解析 令$x = 2$，
得$a_{0}=(2^{2}+1)×(2 - 3)^{9}=-5$.
令$x = 3$，得$a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+·s+a_{11}=(3^{2}+1)×(3 - 3)^{9}=0$，
所以$a_{1}+a_{2}+a_{3}+·s+a_{11}=-a_{0}=5$.