《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

6.(多选题)设(5x−$\frac{1}{√x}${”的展开式中各项
系数和为M,二项式系数和为N,若M−N=240,则下列说法正确的是(AC).

A.n=4
B.n=6
C.展开式中x的系数为150
D.展开式中x的系数为−150

答案： 6.AC 解析 由已知条件$4^{n}-2^{n}=240$，解得$n=4$，
$T_{k+1}=C_{4}^{k}(5x)^{4-k}·\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{k}=(-1)^{k}5^{4-k}C_{4}^{k}x^{4-\frac{3k}{2}}$.
令$4-\frac{3k}{2}=1$，得$k=2$，
所以展开式中$x$的系数为$(-1)^{2}×5^{2}×C_{4}^{2}=150$.

7.已知($\frac{1}{4}$+2x)”的展开式中前3项的二
项式系数的和等于37,则展开式中二项式系数最大的项的系数为$\frac{35}{8}$.

答案： 7.$\frac{35}{8}$ 解析 由$C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=37$，得$1+n+\frac{1}{2}n(n-1)=37$，解得$n=8$(负值舍去)，
则第5项的二项式系数最大，$T_{5}=C_{8}^{4}×\frac{1}{4^{4}}×(2x)^{4}=\frac{35}{8}x^{4}$，该项的系数为$\frac{35}{8}$.

8.如果今天是星期一,那么1090天后的第
一天是星期二.

答案： 8.二 解析 由于$10^{90}=100^{45}=(7×14+2)^{45}$，又$2^{45}=(2^{3})^{15}=(7+1)^{15}$，可见$10^{90}$被7除所得的余数是1，所以$10^{90}$天后的第一天是星期二.

9.证明$\frac{n}{2"}$＜$\frac{2}{n−1}$(n＞1,nEN).

答案： 9.证明 原不等式可化为$2^{n}＞\frac{n(n-1)}{2}=C_{n}^{2}(n＞1)$，$n\inN$.
又$2^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+·s+C_{n}^{n}\geq1+n+C_{n}^{2}＞C_{n}^{2}$，
故原不等式成立.

10.写出(x一y)11的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)项的系数绝对值最大的项;
(3)项的系数最大的项和系数最小的项;
(4)二项式系数的和;
(5)各项系数的和.

答案： 10.解
(1)二项式系数最大的项为中间两项：
$T_{6}=-C_{11}^{6}x^{5}y^{5}=-462x^{5}y^{5},T_{7}=C_{11}^{7}x^{5}y^{6}=462x^{5}y^{6}$.
(2)$(x-y)^{11}$的展开式的通项为
$T_{k+1}=C_{11}^{k}x^{11-k}(-y)^{k}=C_{11}^{k}(-1)^{k}x^{11-k}y^{k}$，
项的系数的绝对值为$|C_{11}^{k}(-1)^{k}|=C_{11}^{k}$，
项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，$T_{6}=-462x^{5}y^{5},T_{7}=462x^{5}y^{6}$.
(3)由
(2)知中间两项系数的绝对值相等，因为第6项系数为负，第7项系数为正，故项的系数最大的项为$T_{7}=462x^{5}y^{6}$，项的系数最小的项为$T_{6}=-462x^{6}y^{5}$.
(4)展开式中，二项式系数的和为$C_{11}^{0}+C_{11}^{1}+C_{11}^{2}+·s+C_{11}^{11}=2^{11}$.
(5)令$x=y=1$，得展开式中各项的系数和为$C_{11}^{0}-C_{11}^{1}+C_{11}^{2}-·s-C_{11}^{11}=(1-1)^{11}=0$.