《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

13. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 $ 10 $ 分，负方得 $ 0 $ 分，没有平局. 三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军. 已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 $ 0.5, 0.4, 0.8 $，各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用 $ X $ 表示乙学校的总得分，求 $ X $ 的分布列与均值.

答案： 解
(1)记甲学校获得冠军为事件$A$，
　　　则$P(A)=0.5×0.4×(1 - 0.8) + 0.5×(1 - 0.4)×0.8 + (1 - 0.5)×0.4×0.8 + 0.5×0.4×0.8 = 0.6$，
　　　所以甲学校获得冠军的概率是$0.6$.
(2)$X$的可能取值为$0,10,20,30$，
　　　则$P(X = 0)=0.5×0.4×0.8 = 0.16$，
　　　$P(X = 10)=0.5×0.4×(1 - 0.8) + 0.5×(1 - 0.4)×0.8 + (1 - 0.5)×0.4×0.8 = 0.44$，
　　　$P(X = 20)=0.5×(1 - 0.4)×(1 - 0.8) + (1 - 0.5)×0.4×(1 - 0.8) + (1 - 0.5)×(1 - 0.4)×0.8 = 0.34$，
　　　$P(X = 30)=(1 - 0.5)×(1 - 0.4)×(1 - 0.8)=0.06$.
　　　所以$X$的分布列为
　　　$X$　$0$　　$10$　　$20$　　$30$
　　　$P$　$0.16$　　$0.44$　　$0.34$　　$0.06$
　　　所以$E(X)=0×0.16 + 10×0.44 + 20×0.34 + 30×0.06 = 13$.

14. 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 $ \frac{2}{3} $，中奖可以获得 $ 2 $ 分；方案乙的中奖率为 $ \frac{2}{5} $，中奖可以获得 $ 3 $ 分；未中奖则不得分. 每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 $ X $，求 $ X \leq 3 $ 的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？

答案： 解
(1)由已知得，小明中奖的概率为$\frac{2}{3}$，小红中奖的概率为$\frac{2}{5}$，且两人中奖与否互不影响.
　　　记“这$2$人的累计得分$X\leq3$”的事件为$A$，
　　　则事件$A$包含有“$X = 0$”“$X = 2$”“$X = 3$”三个两两互斥的事件.
　　　因为$P(X = 0)=(1 - \frac{2}{3})×(1 - \frac{2}{5}) = \frac{1}{5}$，
　　　$P(X = 2)=\frac{2}{3}×(1 - \frac{2}{5}) = \frac{2}{5}$，
　　　$P(X = 3)=(1 - \frac{2}{3})×\frac{2}{5} = \frac{2}{15}$，
　　　所以$P(A)=P(X = 0) + P(X = 2) + P(X = 3)=\frac{11}{15}$，即这$2$人的累计得分$X\leq3$的概率为$\frac{11}{15}$.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为$X_1$，都选择方案乙所获得的累计得分为$X_2$，则$X_1$，$X_2$的分布列如下：
　　　　　　　　$X_1$　$0$　　$2$　　$4$
　　　　　　　　$P$　$\frac{1}{9}$　$\frac{4}{9}$　$\frac{4}{9}$
　　　　　　　　$X_2$　$0$　　$3$　　$6$
　　　　　　　　$P$　$\frac{9}{25}$　$\frac{12}{25}$　$\frac{4}{25}$
　　　所以$E(X_1)=0×\frac{1}{9} + 2×\frac{4}{9} + 4×\frac{4}{9} = \frac{8}{3}$，
　　　$E(X_2)=0×\frac{9}{25} + 3×\frac{12}{25} + 6×\frac{4}{25} = \frac{12}{5}$.
　　　因为$E(X_1)＞E(X_2)$，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大.