《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

4. 设两个相互独立事件 $ A $ 和 $ B $ 都不发生的概率为 $ \frac{1}{9} $，$ A $ 发生 $ B $ 不发生的概率与 $ B $ 发生 $ A $ 不发生的概率相同，则事件 $ A $ 发生的概率 $ P(A) $ 是(D)。

A.$ \frac{2}{9} $
B.$ \frac{1}{18} $
C.$ \frac{1}{3} $
D.$ \frac{2}{3} $

答案： 4.D 解析 由题意知，$P(AB)=P(BA)$，
且$P(A)P(B)=P(B)P(A)$，
即$P(A)[1 - P(B)]=P(B)[1 - P(A)]$，
得$P(A)=P(B)$.
又$P(\overline{A}\overline{B})=\frac{1}{9}$，则$P(A)=P(B)=\frac{1}{3}$，故$P(A)=\frac{2}{3}$.

5. 已知两个转盘如图所示，同时转动这两个转盘，记转盘甲得到的数为 $ x $，转盘乙得到的数为 $ y $(若指针停在边界上则重新转)，$ x $，$ y $ 构成数对 $ (x, y) $，则所有数对 $ (x, y) $ 中，满足 $ xy = 4 $ 的概率为(C)。


A.$ \frac{1}{16} $
B.$ \frac{1}{8} $
C.$ \frac{3}{16} $
D.$ \frac{1}{4} $

答案： 5.C 解析 满足$xy = 4$的所有可能如下：$x = 1,y = 4$；$x = 2,y = 2$；$x = 4,y = 1$.
故所求事件的概率为$P = P(x = 1,y = 4) + P(x = 2,y = 2) + P(x = 4,y = 1)=\frac{1}{4} × \frac{1}{4} + \frac{1}{4} × \frac{1}{4} + \frac{1}{4} × \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$.

6. 某自动银行设有两台 $ ATM $ 机。在某一时刻这两台 $ ATM $ 机被占用的概率分别为 $ \frac{1}{3} $，$ \frac{1}{2} $，则某客户此刻到达需要等待的概率为$\frac{1}{6}$。

答案： 6.$\frac{1}{6}$ 解析 该客户需要等待意味着这两台ATM机同时被占用，
故所求概率为$P = \frac{1}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

7. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 $ 5 $ 个问题中，选手若能连续正确回答出 $ 2 $ 个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 $ 0.8 $，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 $ 4 $ 个问题就晋级下一轮的概率等于0.128。

答案： 7.0.128 解析 由已知条件知，第1个问题可对可错，第2个问题答错，第3,4个问题答对，设事件$A_i$为“第i个问题回答正确”，
则$P(A_i)=0.8,i = 1,2,3,4$.
故$P = P[(A_1 + \overline{A_1})\overline{A_2}A_3A_4]$
$=[1 - P(A_2)]P(A_3) · P(A_4)$
$=0.128$.

8. 要生产一种产品，甲机床的废品率为 $ 0.04 $，乙机床的废品率为 $ 0.05 $，从甲、乙机床生产的产品中各任取 $ 1 $ 件，求：
(1) 至少有 $ 1 $ 件废品的概率；
(2) 恰有 $ 1 $ 件废品的概率。

答案： 8.解 从甲、乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A，B，
则事件A，B相互独立.
(1)设至少有1件废品为事件C，则
$P(C)=1 - P(\overline{A}B)$
$=1 - P(\overline{A})P(\overline{B})$
$=1 - (1 - 0.04) × (1 - 0.05)$
$=0.088$.
(2)设“恰有1件废品”为事件D，则
$P(D)=P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)$
$=0.04 × (1 - 0.05) + (1 - 0.04) × 0.05$
$=0.086$.