《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

14. 分别求出符合下列要求的不同排法的种数。
（1）6 名学生排 3 排，前排 1 人，中排 2 人，后排 3 人；
（2）6 人排成一排，甲、乙不相邻。

答案： 14.解
(1)分排与直排一一对应，故排法种数为$A_6^6=720$．
(2)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好，有$A_4^4$种排法；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有$A_2^2A_5^2=480$种排法．

15. 已知圆的方程 $ (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} $（$ r ＞ 0 $），从 0，3，4，5，6，7，8，9，10 这 9 个数中选出 3 个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径。问：
（1）可以作多少个不同的圆？
（2）经过原点的圆有多少个？
（3）圆心在直线 $ x + y - 10 = 0 $ 上的圆有多少个？

答案： 15.解
(1)可分两步完成：第一步，选$r$，因为$r＞0$，则$r$有$A_8^1$种选法．第二步，选$a$，$b$，在剩余8个数中任取2个，有$A_8^2$种选法．由分步乘法计数原理，可得有$A_8^1A_8^2=448$个不同的圆．
(2)圆$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$经过原点，$a$，$b$，$r$满足$a^2+b^2=r^2$，满足该条件的$a$，$b$，$r$共有3，4，5与6，8，10两组，考虑$a$，$b$的顺序，有$A_2^2$种情况，所以符合题意的圆有$2A_2^2=4$个．
(3)圆心在直线$x+y-10=0$上，即满足$a+b=10$，则满足条件的$a$，$b$有三组：0，10；3，7；4，6．当$a$，$b$取10，0时，$r$有7种情况，当$a$，$b$取3，7；4，6时，$r$不可取0，有6种情况，考虑$a$，$b$的顺序，有$A_2^2$种情况，所以满足题意的圆共有$A_2^2A_7^1+2A_2^2A_6^1=38$个．