《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

互动探究2 超几何分布的应用
探究1 一个袋中装有$6$个形状、大小完全相同的小球，其中红球有$3$个，编号为$1,2,3$；黑球有$2$个，编号为$1,2$；白球有$1$个，编号为$1$。现从袋中一次随机抽取$3$个球。
(1)求取出的$3$个球的颜色都不相同的概率。
(2)记取得$1$号球的个数为随机变量$X$，求随机变量$X$的分布列。
探究2 在探究1的条件下，记取到白球的个数为随机变量$\eta$，求随机变量$\eta$的分布列。
探究3 将探究1的条件“一次随机抽取$3$个球”改为“有放回地抽取$3$次球，每次抽取$1$个球”，其他条件不变，结果又如何？
归纳总结
求超几何分布问题的注意事项
(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布。
(2)如果随机变量$X$服从超几何分布，只要代入超几何分布的公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量$X$的所有取值。
(3)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式表示。

答案：
探究1解
(1)从袋中一次随机抽取3个球包含的样本点总数$n = C_{6}^{3} = 20$，取出的3个球的颜色都不相同包含的样本点个数为$C_{3}^{1}C_{2}^{1}C_{1}^{1} = 6$，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率$P = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
(2)由题意知$X = 0,1,2,3$.
　　$P(X = 0) = \frac{C_{3}^{3}}{C_{6}^{3}} = \frac{1}{20}$，
　　$P(X = 1) = \frac{C_{3}^{1}C_{3}^{2}}{C_{6}^{3}} = \frac{9}{20}$，
　　$P(X = 2) = \frac{C_{3}^{2}C_{3}^{1}}{C_{6}^{3}} = \frac{9}{20}$，
　　$P(X = 3) = \frac{C_{3}^{3}}{C_{6}^{3}} = \frac{1}{20}$，
　　所以$X$的分布列为
　　$X$　0　1　2　3
　　$P$　$\frac{1}{20}$　$\frac{9}{20}$　$\frac{9}{20}$　$\frac{1}{20}$
探究2解由题意知$\eta = 0,1$，服从两点分布.
　　又$P(\eta = 1) = \frac{C_{5}^{2}}{C_{6}^{3}} = \frac{1}{2}$，
　　所以随机变量$\eta$的分布列为
　　　　　　　
探究3解
(1)取出3个球颜色都不相同的概率$P = \frac{C_{3}^{1}×C_{2}^{1}×C_{1}^{1}×A_{3}^{3}}{6^{3}} = \frac{1}{6}$.
(2)由题意知$X = 0,1,2,3$.
　　$P(X = 0) = \frac{3^{3}}{6^{3}} = \frac{1}{8}$，
　　$P(X = 1) = \frac{C_{3}^{1}×3×3×3}{6^{3}} = \frac{3}{8}$，
　　$P(X = 2) = \frac{C_{3}^{2}C_{3}^{1}×3×3}{6^{3}} = \frac{3}{8}$，
　　$P(X = 3) = \frac{3^{3}}{6^{3}} = \frac{1}{8}$.
　　所以$X$的分布列为
　　$X$　0　1　2　3
　　$P$　$\frac{1}{8}$　$\frac{3}{8}$　$\frac{3}{8}$　$\frac{1}{8}$