《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

要点2 排列数的计算
典型例题
计算：$\frac{2A_{8}^{5}+7A_{8}^{4}}{A_{8}^{8}-A_{9}^{5}}$。
归纳总结
排列数的计算方法
(1)排列数的计算主要利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的正整数是排列元素的总个数，而正整数（因式）的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用。
(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提公因式，然后计算，这样往往会减少运算量。

答案： 典型例题
解$\frac{2A_{8}^{5}+7A_{8}^{4}}{A_{8}^{8}-A_{9}^{5}}$
$=\frac{2×8×7×6×5×4 + 7×8×7×6×5}{8×7×6×5×4×3×2×1 - 9×8×7×6×5}$
$=\frac{8×7×6×5×(8 + 7)}{8×7×6×5×(24 - 9)}$
$=1$.

迁移应用
求$3A_{8}^{x}=4A_{9}^{x - 1}$中的$x$。

答案： 迁移应用
解原方程$3A_{8}^{x}=4A_{9}^{x - 1}$可化为$\frac{3×8!}{(8 - x)!}=\frac{4×9!}{(10 - x)!}$，
即$\frac{3×8!}{(8 - x)!}=\frac{4×9×8!}{(10 - x)(9 - x)(8 - x)!}$，化简，
得$x^{2}-19x + 78 = 0$，
解得$x = 6$或$x = 13$.
由题意知$\begin{cases}x\leq8,\\x - 1\leq9,\end{cases}$
解得$x\leq8$.
所以原方程的解为$x = 6$.