《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

1. 判断正误.(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量 $ X $ 的均值 $ E(X) $ 是一个变量，其随 $ X $ 的变化而变化. (×)
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平. (×)
(3)若随机变量 $ X $ 的数学期望 $ E(X) = 2 $，则 $ E(2X) = 4 $. (√)
(4)随机变量 $ X $ 的均值 $ E(X) = \frac{x_1 + x_2 + ·s + x_n}{n} $. (×)

答案： 1.
(1)×　
(2)×　
(3)√　
(4)×

2. 若随机变量 $ X $ 的分布列为

则 $ E(X) $ 的值为(C).

A.$ 0 $
B.$ -1 $
C.$ -\frac{1}{6} $
D.$ -\frac{1}{2} $

答案： 2.C　解析$E(X)=\sum_{i = 1}^{3}x_ip_i = (-1)×\frac{1}{2} + 0×\frac{1}{6} + 1×\frac{1}{3} = -\frac{1}{6}$.

3. 设 $ E(X) = 10 $，则 $ E(3X + 5) = $35.

答案： 3.35　解析$E(3X + 5)=3E(X) + 5 = 3×10 + 5 = 35$.

4. 若随机变量 $ X $ 服从二项分布，即 $ X \sim B(4, \frac{1}{3}) $，则 $ E(X) $ 的值为$\frac{4}{3}$.

答案： 4.$\frac{4}{3}$　解析$E(X)=np = 4×\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

5. 袋中装有 $ 6 $ 个红球，$ 4 $ 个白球，连续摸取 $ 4 $ 次，每次从中任取 $ 1 $ 个球，记下颜色后再放回，设 $ X $ 是取得红球的次数，则 $ E(X) = $$\frac{12}{5}$.

答案： 5.$\frac{12}{5}$　解析每一次摸得红球的概率为$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
　　　由题意知，$X$服从参数为$4$，$\frac{3}{5}$的二项分布，
　　　则$X\sim B(4,\frac{3}{5})$，
　　　则$E(X)=4×\frac{3}{5} = \frac{12}{5}$.

典型例题
某种考试规定：每位考试者一年之内最多有 $ 4 $ 次参加考试的机会，一旦某次考试通过，不再参加以后的考试，否则就一直考到第 $ 4 $ 次为止. 如果李叔叔决定参加该考试，设他一年内 $ 4 $ 次考试通过的概率依次为 $ 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 $，求在一年内李叔叔参加该考试次数 $ X $ 的分布列和 $ X $ 的均值.
归纳总结
求离散型随机变量 $ X $ 的均值的步骤
(1)理解 $ X $ 的实际意义，并写出 $ X $ 的全部取值.
(2)求 $ X $ 取每个值时的概率.
(3)写 $ X $ 的分布列（有时也可省略）.
(4)利用公式 $ E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + ·s + x_n p_n $，求均值.
其中(1)(2)是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识.

答案： 解$X$的取值分别为$1,2,3,4$.
　　$X = 1$，表明李叔叔第一次参加该考试就通过了，故$P(X = 1)=0.6$.
　　$X = 2$，表明李叔叔在第一次考试未通过，第二次通过了，故$P(X = 2)=(1 - 0.6)×0.7 = 0.28$.
　　$X = 3$，表明李叔叔在第一次、第二次考试未通过，第三次通过了，故$P(X = 3)=(1 - 0.6)×(1 - 0.7)×0.8 = 0.096$.
　　$X = 4$，表明李叔叔第一次、第二次、第三次考试都未通过，
　　故$P(X = 4)=(1 - 0.6)×(1 - 0.7)×(1 - 0.8)=0.024$.
　　所以李叔叔参加考试次数$X$的分布列为
　　　$X$　　　　$1$　　　　$2$　　　　$3$　　　　$4$
　　　$P$　　　$0.6$　　$0.28$　　$0.096$　　$0.024$
　　所以$X$的均值为$E(X)=1×0.6 + 2×0.28 + 3×0.096 + 4×0.024 = 1.544$.