《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

典型例题
已知随机变量 $ X $ 的分布列为

(1)求 $ E(X) $；
(2)若 $ Y = 2X - 3 $，求 $ E(Y) $.
归纳总结
与离散型随机变量性质有关问题的解题思路
若给出的随机变量 $ \xi $ 与 $ X $ 的关系为 $ \xi = aX + b $，其中 $ a, b $ 为常数. 通常先求 $ E(X) $，再利用公式 $ E(aX + b) = aE(X) + b $ 求 $ E(\xi) $. 也可以利用 $ X $ 的分布列得到 $ \xi $ 的分布列，再由定义法求得 $ E(\xi) $.

答案： 解
(1)由随机变量分布列的性质，得$\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + m + \frac{1}{20} = 1$，
　　解得$m = \frac{1}{6}$，$E(X)=(-2)×\frac{1}{4} + (-1)×\frac{1}{3} + 0×\frac{1}{5} + 1×\frac{1}{6} + 2×\frac{1}{20} = -\frac{17}{30}$.
(2)方法一：由公式$E(aX + b)=aE(X) + b$，得$E(Y)=E(2X - 3)=2E(X) - 3 = 2×(-\frac{17}{30}) - 3 = -\frac{62}{15}$.
　　方法二：由于$Y = 2X - 3$，所以$Y$的分布列如下：
　　　　　　$Y$　$-7$　$-5$　$-3$　$-1$　$1$
　　　　　　$P$　$\frac{1}{4}$　$\frac{1}{3}$　$\frac{1}{5}$　$\frac{1}{6}$　$\frac{1}{20}$
　　所以$E(Y)=(-7)×\frac{1}{4} + (-5)×\frac{1}{3} + (-3)×\frac{1}{5} + (-1)×\frac{1}{6} + 1×\frac{1}{20} = -\frac{62}{15}$.