《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

互动探究
数字排列问题
探究 1
用 0，1，2，3，4，5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
（1）六位奇数；
（2）个位数字不是 5 的六位数；
（3）不大于 4 310 的四位偶数。
探究 2 [变设问]本探究 1 中条件不变，能组成多少个能被 5 整除的五位数？
探究 3 [变条件，变设问]用 0，1，3，5，7 五个数字，可以组成多少个没有重复数字且 5 不在十位位置上的五位数。
归纳总结
数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上，或某个位置不排某些元素。解决该类排列问题主要遵循“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位置。若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类讨论。
（2）常用方法：直接法、间接法。
（3）注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”。

答案： 探究1 解
(1)第一步，排个位，有$A_3^1$种排法；第二步，排十万位，有$A_4^1$种排法；第三步，排其他位，有$A_4^4$种排法．故共有$A_3^1A_4^1A_4^4=288$个符合题意的六位奇数．
(2)方法一(直接法)：十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．第一类，当个位排0时，有$A_5^5$个符合题意的六位数；第二类，当个位不排0时，有$A_4^1A_4^1A_4^4$个符合题意的六位数．故符合题意的六位数共有$A_5^5+A_4^1A_4^1A_4^4=504$个．方法二(排除法)：0在十万位的排列和5在个位的排列都不是符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位，同时5在个位的情况．故符合题意的六位数共有$A_6^6-2A_5^5+A_4^4=504$个．
(3)分三种情况，具体如下：①当千位上排1，3时，有$A_2^1A_3^1A_3^2$个符合题意的四位偶数；②当千位上排2时，有$A_2^1A_4^2$个符合题意的四位偶数；③当千位上排4时，形如40××，42××的各有$A_3^1$个符合题意的四位偶数；形如41××的有$A_2^1A_3^2$个符合题意的四位偶数；形如43××的只有4310和4302这两个数符合题意．故共有$A_2^1A_3^1A_3^2+A_2^1A_4^2+2A_3^1+A_2^1A_3^2+2=110$个符合题意的四位偶数．探究2 解 该五位数个位上的数字必须是0或5．当个位上是0时，有$A_5^4$个符合题意的数；当个位上是5时，若不含0，则有$A_4^4$个符合题意的数；若含0，但0不作首位，则0的位置有$A_3^1$种排法，其余各位有$A_3^3$种排法，故共有$A_5^4+A_4^4+A_3^1A_3^3=216$个能被5整除的五位数．探究3 解 可分两类：第一类，0在十位位置上，则5一定不在十位位置上，所以五位数的个数为$A_4^4=24$．第二类，0不在十位位置上，因为5不能排在十位位置上，所以十位位置上只能排1，3，7中的一个，有$A_3^1=3$种排法．又因为0不能排在万位位置上，所以万位位置上有$A_3^1=3$种排法．十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列，有$A_3^3=6$种排法．根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为$A_3^1A_3^1A_3^3=54$．由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有$24+54=78$个．