《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

迁移应用
判断下列问题是排列问题，还是组合问题。
(1)从 $1,2,3,·s,9$ 九个数字中任取 $3$ 个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(2)从 $1,2,3,·s,9$ 九个数字中任取 $3$ 个，组成一个集合，这样的集合共有多少个？
(3)$5$ 个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？
(4)$5$ 个人相互写一封信，共写了多少封信？

答案： 迁移应用
解
(1)取出3个数字后，改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题.
(2)取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，集合均不变，此问题只与取出的元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题.
(3)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题.
(4)发信人与收信人是有区别的，是排列问题.

要点 2 有关组合数的计算与证明
典型例题
(1)计算：$C_{10}^{4}-C_{7}^{3}A_{3}^{3}$；
(2)证明：$mC_{n}^{m}=nC_{n - 1}^{m - 1}$；
(3)已知 $\frac{1}{C_{5}^{m}}-\frac{1}{C_{6}^{m}}=\frac{7}{10C_{7}^{m}}$，求 $C_{8}^{m}+C_{8}^{5 - m}$。
归纳总结
1 组合数公式 $C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}=\frac{n(n - 1)·s[n-(m - 1)]}{m×(m - 1)×·s×2×1}$，体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到。
2 组合数公式 $C_{n}^{m}=\frac{n!}{(n - m)!m!}$ 的主要作用：一是计算 $m,n$ 较大时的组合数；二是对含有字母的组合数的式子进行变形或证明。

答案： 典型例题
(1)解 原式$=C_{10}^4 - A_{7}^3=\frac{10×9×8×7}{4×3×2×1}-7×6×5 = 210 - 210 = 0$.
(2)证明$mC_{n}^m = m·\frac{n!}{m!(n - m)!}=\frac{n(n - 1)!}{(m - 1)!(n - m)!}=nC_{n - 1}^{m - 1}$.
(3)解$\because\frac{1}{C_{5}^m}=\frac{1}{C_{6}^m} \Rightarrow \frac{m!(5 - m)!}{5!}=\frac{m!(6 - m)!}{6!}$，
$\therefore\frac{m!(5 - m)!}{5!}=\frac{m!(6 - m)(5 - m)!}{6×5!}$，
$\therefore1 - \frac{6 - m}{6}=\frac{(7 - m)(6 - m)}{60}$，
即$m^2 - 23m + 42 = 0$，
解得$m = 2$或$m = 21$.
而$0\leq m\leq5$，
$\therefore m = 2$.
$\therefore C_{8}^m + C_{8}^{5 - m}=C_{8}^2 + C_{8}^3 = C_{9}^3 = 84$.