《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

12. 由一个正三棱锥$P - ABC$与正三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$组合而成的几何体如图所示，现用$3$种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面$A_{1}B_{1}C_{1}$不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有多少种？

答案： 12.解先涂三棱锥$P-ABC$的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有$C_{3}^{1}× C_{2}^{1}× C_{1}^{1}× C_{2}^{1}=3×2×1×2=12$种不同的涂色方案.

13. 有五张质地、大小相同的卡片，它们的正、反面分别写$0$与$1$，$2$与$3$，$4$与$5$，$6$与$7$，$8$与$9$.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

答案： 13.解方法一（直接法）：从0与1两个特殊值着眼，可分三类.
①取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有$C_{4}^{1}$种选法；0可排在后两位，有$C_{2}^{1}$种排法；最后从剩下的三张中任取一张，有$C_{3}^{1}$种选法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有$C_{4}^{1}C_{2}^{1}C_{3}^{1}×2^{2}=96$个.
②取1不取0，同上分析可得不同的三位数有$C_{4}^{2}×2^{2}× A_{3}^{3}=144$个.
③0和1都不取，不同的三位数有$C_{4}^{3}×2^{3}× A_{3}^{3}=192$个.
综上所述，共有不同的三位数$96+144+192=432$个.
方法二（间接法）：任取三张卡片可以组成不同的三位数$C_{5}^{3}×2^{3}× A_{3}^{3}$个，其中0在百位的有$C_{4}^{2}×2^{2}× A_{3}^{3}$个，这是不合题意的，故共有不同的三位数$C_{5}^{3}×2^{3}× A_{3}^{3}-C_{4}^{2}×2^{2}× A_{3}^{3}=432$个.