《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

1. 某学生通过英语听力测试的概率为$\frac{1}{3}$，他连续测试$3$次，其中恰有$1$次获得通过的概率是(B)。

A.$\frac{2}{9}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{4}{27}$
D.$\frac{2}{27}$

答案： 1.B　解析记“恰有1次获得通过”为事件$A$，则$P(A) = C_{3}^{1}×\frac{1}{3}×(1 - \frac{1}{3})^{2} = \frac{4}{9}$.

2. 在$100$张奖券中，有$4$张能中奖，从这$100$张奖券中任取$2$张，则$2$张都能中奖的概率是(C)。

A.$\frac{1}{50}$
B.$\frac{1}{25}$
C.$\frac{1}{825}$
D.$\frac{1}{4950}$

答案： 2.C解析记$X$为抽到的2张奖券中中奖的奖券张数，则$P(X = 2) = \frac{C_{4}^{2}C_{96}^{0}}{C_{100}^{2}} = \frac{1}{825}$.

3. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为$\frac{2}{3}$，则甲以$3:1$的比分获胜的概率为(A)。

A.$\frac{8}{27}$
B.$\frac{64}{81}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{8}{9}$

答案： 3.A解析当甲以3:1的比分获胜时，说明甲、乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3:1的比分获胜的概率为$P = C_{3}^{2}×(\frac{2}{3})^{2}×(1 - \frac{2}{3})×\frac{2}{3} = 3×\frac{4}{9}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3} = \frac{8}{27}$，故选A.

4. 设随机变量$\xi\sim B(2,p)$，$\eta\sim B(3,p)$，若$P(\xi\geq1)=\frac{5}{9}$，则$P(\eta\geq2)$的值为(C)。

A.$\frac{20}{27}$
B.$\frac{8}{27}$
C.$\frac{7}{27}$
D.$\frac{1}{27}$

答案： 4.C解析易知$P(\xi = 0) = C_{2}^{0}(1 - p)^{2} = 1 - \frac{5}{9}$，$p = \frac{1}{3}$，则$P(\eta\geq2) = C_{3}^{3}p^{3} + C_{3}^{2}p^{2}(1 - p)^{1} = \frac{1}{27} + \frac{6}{27} = \frac{7}{27}$.

5. 已知$X\sim B(6,\frac{1}{2})$，则使$P(X = k)$最大的$k$的值是(B)。

A.$2$
B.$3$
C.$2$或$3$
D.$4$

答案： 5.B解析$P(X = k) = C_{6}^{k}(\frac{1}{2})^{k}(\frac{1}{2})^{6 - k} = C_{6}^{k}(\frac{1}{2})^{6}$，当$k = 3$时，$C_{6}^{k}(\frac{1}{2})^{6}$最大.

6. (多选题)下列随机事件中的随机变量$X$不服从超几何分布的是(ACD)。

A.将一枚硬币连抛$3$次，正面向上的次数$X$
B.从$7$名男生与$3$名女生共$10$名学生干部中选出$5$名优秀学生干部，选出女生的人数为$X$
C.某射击运动员的命中率为$0.8$，现对目标射击$1$次，记命中目标的次数为$X$
D.盒中有$4$个白球和$3$个黑球，每次从中摸出$1$球且不放回，$X$是首次摸出黑球时摸球的总次数

答案： 6.ACD解析由超几何分布的定义，可知A,C,D三项中的随机变量$X$不服从超几何分布.

7. (多选题)一名射击运动员对同一目标独立地射击$4$次，已知至少命中一次的概率为$\frac{80}{81}$，则(ABD)。

A.设射击四次命中次数为$\xi$，每次命中的概率为$p$，则$\xi\sim B(4,p)$
B.$P(\xi\geq1)=\frac{80}{81}$
C.设每次命中的概率为$p$，则$p=\frac{2}{3}$或$p=\frac{4}{3}$
D.设每次命中的概率为$p$，则$p=\frac{2}{3}$

答案： 7.ABD解析设该射击运动员射击四次命中次数为$\xi$，每次命中的概率为$p$，所以$\xi\sim B(4,p)$.
依题意可知，$P(\xi\geq1) = \frac{80}{81}$，
　　故$1 - P(\xi = 0) = 1 - C_{4}^{0}(1 - p)^{4} = \frac{80}{81}$，
　　故$(1 - p)^{4} = \frac{1}{81}$，
　　所以$p = \frac{2}{3}$或$p = \frac{4}{3}$(舍去后者).

8. 从次品率为$0.1$的一批产品中任取$4$件，恰有两件次品的概率为0.0486。

答案： 8.0.0486解析$P = C_{4}^{2}×(0.1)^{2}×(1 - 0.1)^{2} = 0.0486$.

9. 袋中装有大小和质地完全相同的$5$个红球和$4$个黑球，从袋中任取$4$个球，取到$1$个红球得$3$分，取到$1$个黑球得$1$分，设得分为随机变量$\xi$，则$\xi\geq8$的概率$P(\xi\geq8)=$$\frac{5}{6}$。

答案： 9.$\frac{5}{6}$解析由题意知$P(\xi\geq8) = 1 - P(\xi = 6) - P(\xi = 4) = 1 - \frac{C_{4}^{1}C_{3}^{3}}{C_{9}^{4}} - \frac{C_{4}^{4}}{C_{9}^{4}} = \frac{5}{6}$.