《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

1. 设一随机试验的结果只有 $A$ 和 $\overline{A}$，且 $P(A)=m$，令随机变量 $\xi=\begin{cases}1,A 发生,\\0,A 不发生,\end{cases}$ 则 $\xi$ 的方差 $D(\xi)$ 等于( D ).

A.$m$
B.$2m(1 - m)$
C.$m(m - 1)$
D.$m(1 - m)$

答案： 1.D解析随机变量$\xi$的分布列为
$\xi$ 0 1
$P$ $1 - m$ $m$
所以$E(\xi)=0×(1 - m)+1×m = m$。所以$D(\xi)=(0 - m)^2×(1 - m)+(1 - m)^2×m = m(1 - m)$。

2. 已知 $X$ 的分布列为

则 $D(X)$ 等于( B ).

A.$0.7$
B.$0.61$
C.$-0.3$
D.$0$

答案： 2.B解析$E(X)= -1×0.5+0×0.3+1×0.2 = -0.3$，$D(X)=0.5×(-1 + 0.3)^2+0.3×(0 + 0.3)^2+0.2×(1 + 0.3)^2 = 0.61$。

3. 设随机变量 $\xi$ 的分布列为 $P(\xi = k)=C_n^k(\frac{2}{3})^k·(\frac{1}{3})^{n - k}$，$k = 0,1,2,·s,n$，且 $E(\xi)=24$，则 $D(\xi)$ 的值为(  ).

A.$\frac{2}{9}$
B.$8$
C.$12$
D.$16$

答案： 3.B解析由题意可知$\xi \sim B(n,\frac{2}{3})$，所以$\frac{2}{3}n = E(\xi)=24$，所以$n = 36$，所以$D(\xi)=n×\frac{2}{3}×(1 - \frac{2}{3})=36×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=8$。

4. 由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为

现有一场比赛，要想比赛成绩更好，则( A ).

A.派甲参加
B.派乙参加
C.派甲、乙参加均可
D.无法确定派谁参加

答案： 4.A解析$E(X_1)=E(X_2)=1.1$，$D(X_1)=1.1^2×0.2+0.1^2×0.5+0.9^2×0.3 = 0.49$，$D(X_2)=1.1^2×0.3+0.1^2×0.3+0.9^2×0.4 = 0.69$，$D(X_1)＜D(X_2)$，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好。

5. 已知随机变量 $X + Y = 8$，若 $X\sim B(10,0.6)$，则 $E(Y)$，$D(Y)$ 分别是( B ).

A.$6$ 和 $2.4$
B.$2$ 和 $2.4$
C.$2$ 和 $5.6$
D.$6$ 和 $5.6$

答案： 5.B解析因为$X + Y = 8$，所以$Y = 8 - X$。因此，求得$E(Y)=8 - E(X)=8 - 10×0.6 = 2$，$D(Y)=(-1)^2D(X)=10×0.6×0.4 = 2.4$。

6. 某同学上学路上要经过 $3$ 个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是 $\frac{1}{3}$，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记 $X$ 为该同学上学路上遇到红灯的次数，若 $Y = 3X + 5$，则 $Y$ 的标准差为( A ).

A.$\sqrt{6}$
B.$3$
C.$\sqrt{3}$
D.$2$

答案： 6.A解析因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次独立重复试验，即$X \sim B(3,\frac{1}{3})$，则$X$的方差$D(X)=3×\frac{1}{3}×(1 - \frac{1}{3})=\frac{2}{3}$，所以$Y$的方差$D(Y)=3^2D(X)=9×\frac{2}{3}=6$，所以$Y$的标准差为$\sqrt{D(Y)}=\sqrt{6}$。

7. (多选题)如果 $X$ 是离散型随机变量，$E(X)=6$，$D(X)=0.5$，$X_1 = 2X - 5$，那么下列说法正确的是( BD ).

A.$E(X_1)=12$
B.$E(X_1)=7$
C.$D(X_1)=1$
D.$D(X_1)=2$

答案： 7.BD解析$E(X_1)=2E(X) - 5 = 12 - 5 = 7$，$D(X_1)=4D(X)=4×0.5 = 2$。

8. 随机变量 $\xi$ 的取值为 $0$，$1$，$2$. 若 $P(\xi = 0)=\frac{1}{5}$，$E(\xi)=1$，则 $D(\xi)=$ $\frac{2}{5}$.

答案： 8.$\frac{2}{5}$解析设$P(\xi = 1)=a$，$P(\xi = 2)=b$，则$\begin{cases}\frac{1}{5}+a + b = 1\\a + 2b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = \frac{3}{5}\\b = \frac{1}{5}\end{cases}$，所以$D(\xi)=\frac{1}{5}+\frac{3}{5}×0+\frac{1}{5}×1 = \frac{2}{5}$。

9. 设随机变量 $\xi\sim B(2,p)$，$\eta\sim B(4,p)$，若 $P(\xi\geq1)=\frac{5}{9}$，则 $D(\eta)=$$\frac{8}{9}$$\frac{8}{9}$.

答案： 9.$\frac{8}{9}$解析由随机变量$\xi \sim B(2,p)$，且$P(\xi \geq 1)=\frac{5}{9}$，得$P(\xi \geq 1)=1 - P(\xi = 0)=1 - C_{2}^{0}×p^0×(1 - p)^2 = \frac{5}{9}$，解得$p = \frac{1}{3}$。由$\eta \sim B(4,p)$，得随机变量$\eta$的方差$D(\eta)=4×\frac{1}{3}×(1 - \frac{1}{3})=\frac{8}{9}$。

10. 有 $10$ 张卡片，其中 $8$ 张标有数字 $2$，$2$ 张标有数字 $5$，若从中随机抽出 $3$ 张，设这 $3$ 张卡片上的数字和为 $X$，则 $D(X)=$$\frac{3.36}{1}$$\frac{3.36}{1}$.

答案： 10.3.36解析由题意得，随机变量$X$的可能取值为$6$，$9$，$12$。$P(X = 6)=\frac{C_{8}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{7}{15}$，$P(X = 9)=\frac{C_{8}^{2}×C_{2}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{7}{15}$，$P(X = 12)=\frac{C_{8}^{1}×C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{15}$，则$E(X)=6×\frac{7}{15}+9×\frac{7}{15}+12×\frac{1}{15}=7.8$，$D(X)=\frac{7}{15}×(6 - 7.8)^2+\frac{7}{15}×(9 - 7.8)^2+\frac{1}{15}×(12 - 7.8)^2 = 3.36$。

11. 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 $X$ (单位：$mm$)对工期的影响如下表所示.

若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量 $X$ 小于 $300$，$700$，$900$ 的概率分别为 $0.3$，$0.7$，$0.9$，则工期延误天数 $Y$ 的方差为$9.8$

答案： 11.9.8解析由已知条件和概率的加法公式，知$P(X ＜ 300)=0.3$，$P(300 \leq X ＜ 700)=P(X ＜ 700)-P(X ＜ 300)=0.7 - 0.3 = 0.4$，$P(700 \leq X ＜ 900)=P(X ＜ 900)-P(X ＜ 700)=0.9 - 0.7 = 0.2$，$P(X \geq 900)=1 - P(X ＜ 900)=1 - 0.9 = 0.1$。所以随机变量$Y$的分布列为
$Y$ 0 2 6 10
$P$ 0.3 0.4 0.2 0.1
故$E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1 = 3$；$D(Y)=(0 - 3)^2×0.3+(2 - 3)^2×0.4+(6 - 3)^2×0.2+(10 - 3)^2×0.1 = 9.8$。故工期延误天数$Y$的方差为$9.8$。