《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

迁移应用
现有$8$名教师，其中男教师$5$名，女教师$3$名.
（1）现要从中选$2$名去参加会议，有多少种不同的选法？
（2）选出$2$名男教师或$2$名女教师去外地学习的选法有多少种？

答案： （1）从8名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从8个不同对象中取出2个对象的组合数，即$C_{8}^{2}=28$种.
（2）分两类：第一类，选出的2名是男教师有$C_{5}^{2}$种方法；第二类，选出的2名是女教师有$C_{3}^{2}$种方法，即共有$C_{5}^{2}+C_{3}^{2}=13$种选法.

典型例题
高二（1）班共有$35$名同学，其中男生$20$名，女生$15$名，今从中选出$3$名同学参加活动.
（1）其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？
（2）其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？
（3）恰有$2$名女生在内，不同的选法有多少种？
（4）至少有$2$名女生在内，不同的选法有多少种？
（5）至多有$2$名女生在内，不同的选法有多少种？
归纳总结
常见的限制条件及解题方法
（1）特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素、特殊元素的多少作为分类依据.
（2）含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解.
（3）分类讨论思想：解题过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解.

答案： （1）从余下的34名学生中选取2名，有$C_{34}^{2}=561$种选法.故不同的选法有561种.
（2）从34名可选学生中选取3名，有$C_{34}^{3}=5984$种选法.故不同的选法有5984种.
（3）从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有$C_{20}^{1}C_{15}^{2}=2100$种选法.故不同的选法有2100种.
（4）选取2名女生，有$C_{15}^{2}C_{15}^{3}$种选法；选取3名女生，有$C_{15}^{3}$种选法.共有$C_{20}^{1}C_{15}^{2}+C_{15}^{3}=2100+455=2555$种选取方法.故不同的选法有2555种.
（5）选取3名学生的选法种数为$C_{35}^{3}$，至多有2名女生在内的选取方法共有$C_{35}^{3}-C_{15}^{3}=6545-455=6090$种.故不同的选法有6090种.