《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

1. 把三张博物馆门票分给 $10$ 个人中的 $3$ 人，分法有(B)。

A.$A_{10}^{3}$ 种
B.$C_{10}^{3}$ 种
C.$C_{10}^{3}A_{10}^{3}$ 种
D.$30$ 种

答案： 1.B 解析 三张门票没有区别，从10人中选3人即可，即$C_{10}^3$.

2. 将 $2$ 名女教师和 $4$ 名男教师分成 $2$ 个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由 $1$ 名女教师和 $2$ 名男教师组成，则不同的安排方案共有(C)。

A.$24$ 种
B.$10$ 种
C.$12$ 种
D.$9$ 种

答案： 2.C 解析 第一步，为甲校选1名女教师，有$C_{2}^1 = 2$种选法；
第二步，为甲校选2名男教师，有$C_{6}^2 = 6$种选法；
第三步，剩下的3名教师到乙校，故不同的安排方案共有$2×6×1 = 12$种，故选C.

3. 现有大小和质地完全相同的 $6$ 个白球和 $4$ 个黑球，任取 $4$ 个，则至少有两个黑球的取法种数是(A)。

A.$115$
B.$90$
C.$210$
D.$385$

答案： 3.A 解析 依题意可分为三类：取到的球中有两个黑球，有$C_{4}^2C_{6}^2 = 90$种取法；
取到的球中有三个黑球，有$C_{4}^3C_{6}^1 = 24$种取法；
取到的四个球都是黑球，有$C_{4}^4 = 1$种取法.
根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是$90 + 24 + 1 = 115$，故选A.

4. 对于所有满足 $1\leq m\leq n\leq5$ 的自然数 $m,n$，方程 $x^{2}+C_{n}^{m}y^{2}=1$ 所表示的不同椭圆的个数为(C)。

A.$15$
B.$7$
C.$6$
D.$0$

答案： 4.C 解析 因为$1\leq m\leq n\leq5$，且方程表示椭圆，所以$C_{n}^m$可能为$C_{2}^0,C_{3}^1,C_{3}^2,C_{4}^1,C_{4}^3,C_{5}^1,C_{5}^2,C_{5}^3,C_{5}^4$，其中$C_{2}^0 = C_{3}^1,C_{3}^1 = C_{3}^2,C_{4}^1 = C_{4}^3,C_{5}^1 = C_{5}^4,C_{5}^2 = C_{5}^3$，所以$x^2 + C_{n}^my^2 = 1$能表示的不同椭圆有6个.

5. 式子 $C_{10}^{m + 2}+C_{10}^{17 - m}$ 的值的个数为(A)。

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 5.A 解析 由$\begin{cases}m + 2\leq10,\\17 - m\leq10,\end{cases}$得$7\leq m\leq8$，所以$m = 7$或$m = 8$.
当$m = 7$时，原式$=C_{10}^9 + C_{10}^1$.
当$m = 8$时，原式$=C_{10}^{10} + C_{10}^0$，故原式的值只有一个.

6. 某班级有一个 $7$ 人小组，现任选其中 $3$ 人互相调整座位，其余 $4$ 人座位不变，则不同的调整方案有(B)。

A.$35$ 种
B.$70$ 种
C.$30$ 种
D.$65$ 种

答案： 6.B 解析 从7人中选出3人有$C_{7}^3 = 35$种情况，对选出的3人相互调整座位，有2种情况(如$a,b,c3$人只有$cab$或$bca$这2种情况)，故不同的调整方案种数为$2C_{7}^3 = 70$.

7. (多选题)以下四个问题，不属于组合问题的是(ABD)。

A.从 $3$ 个不同的小球中，取出 $2$ 个排成一列，有多少种排法
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌，有多少种安排方法
C.在电视节目中，主持人从 $100$ 位幸运观众中选出 $2$ 名幸运之星，有多少种选法
D.从 $13$ 位司机中任选两位开同一辆车往返甲、乙两地，一人从甲地去乙地时开车，另一人从乙地去甲地时开车，有多少种安排方法

答案： 7.ABD 解析 从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.
故选ABD.

8. 从进入决赛的 $6$ 名选手中决出 $1$ 名一等奖、$2$ 名二等奖、$3$ 名三等奖，则可能的决赛结果共有60种。

答案： 8.60 解析 根据题意，所有可能的决赛结果有$C_{6}^1C_{5}^2C_{3}^3 = 6×\frac{5×4}{2×1}×1 = 60$种.

9. 从 $2,3,5,7$ 四个数中任取两个不同的数相乘，有 $m$ 个不同的积；任取两个不同的数相除，有 $n$ 个不同的商，则 $m:n=$1:2。

答案： 9.1:2 解析$\because m = C_{4}^2,n = A_{4}^2$，
$\therefore m:n = 1:2$.

10. 计算：$\frac{A_{101}^{3}}{C_{100}^{2}+C_{100}^{97}}$。

答案： 10.解$\frac{A_{101}^3}{C_{100}^2 + C_{97}^3}+\frac{A_{101}^3}{C_{100}^3 + C_{100}^3}=A_{3}^3 = 6$.