《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

7. 如果正态总体的数据落在$(-3,-1)$内的概率和落在$(3,5)$内的概率相等，那么这个正态总体的均值是1.

答案： 7.1解析正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间(−3,−1)和(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的.因为正态曲线关于直线x = μ对称，μ的概率意义就是均值，而区间(−3,−1)和(3,5)关于x = 1对称，所以正态总体的均值是1.

8. 已知随机变量$X$服从正态分布$N(a,4)$，且$P(X\leqslant1)=0.5$，则实数$a$的值为1.

答案： 8.1　解析X服从正态分布N(a,4)，故正态曲线关于直线x = a对称.又P(X≤1)=0.5，故a = 1.

9. (2022·新高考卷Ⅱ)随机变量$X$服从正态分布$N(2,\sigma^2)$，若$P(2\lt X\leqslant2.5)=0.36$，则$P(X\gt2.5)=$0.14.

答案： 9.0.14　解析由题意可知P(X＞2)=0.5，故P(X＞2.5)=P(X＞2)−P(2＜X≤2.5)=0.14.

10. 在一次测试中，测试结果$X$服从正态分布$N(2,\sigma^2)(\sigma\gt0)$，若$X$在$(0,2)$内取值的概率为$0.2$，求：
(1)$X$在$(0,4)$内取值的概率；
(2)$P(X\geqslant4)$.

答案：
10.解
(1)由X~N(2,σ²)，对称轴x = 2，画出示意图，因为P(0＜X＜2)=P(2＜X＜4)，所以P(0＜X＜4)=2P(0＜X＜2)=2×0.2 = 0.4.
(2)P(X≥4)=$\frac{1}{2}$[1−P(0＜X＜4)]=$\frac{1}{2}$×(1−0.4)=0.3.

11. 已知随机变量$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，且其正态曲线在区间$(-\infty,80)$上是单调递增的，在区间$(80,+\infty)$上是单调递减的，且$P(72\leqslant X\leqslant88)\approx0.683$.
(1)求参数$\mu,\sigma$的值；
(2)求$P(64\leqslant X\lt72)$.

答案： 11.解
(1)由于正态曲线在区间(−∞,80)上是单调递增的，在区间(80,+∞)上是单调递减的，所以正态曲线关于直线x = 80对称，即参数μ = 80.又P(72≤X≤88)≈0.683.结合P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.683，可知σ = 8.
(2)因为P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)=P(64≤X≤96)≈0.954，又因为P(X＜64)=P(X＞96)，所以P(X＜64)=$\frac{1}{2}$×(1−0.954)=0.023.所以P(X≥64)=0.977.又P(X＜72)=$\frac{1}{2}$[1−P(72≤X≤88)]≈$\frac{1}{2}$×(1−0.683)=0.1585，所以P(X≥72)=0.8415，P(64≤X＜72)=P(X≥64)−P(X≥72)=0.1355.