《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

迁移应用
某气球射击游戏规定：①每次游戏射击 $ 5 $ 发子弹；② $ 5 $ 发全部命中奖励 $ 40 $ 元，命中 $ 4 $ 发不奖励，也不必付款，命中 $ 3 $ 发或 $ 3 $ 发以下，应付款 $ 2 $ 元. 现有一游客，其命中率为 $ 0.5 $.
(1)求该游客在一次游戏中 $ 5 $ 发全部命中的概率；
(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值.

答案：
解
(1)设$5$发子弹命中$X(X = 0,1,2,3,4,5)$发，则由题意知$X\sim B(5,0.5)$，
　　故有$P(X = 5)=C_5^5×0.5^5 = \frac{1}{32}$.
(2)$X\sim B(5,0.5)$.
　　$P(X = 0)=C_5^0×0.5^0×(1 - 0.5)^5 = \frac{1}{32}$，
　　$P(X = 1)=C_5^1×0.5^1×(1 - 0.5)^4 = \frac{5}{32}$，
　　$P(X = 2)=C_5^2×0.5^2×(1 - 0.5)^3 = \frac{5}{16}$，
　　$P(X = 3)=C_5^3×0.5^3×(1 - 0.5)^2 = \frac{5}{16}$，
　　$P(X = 4)=C_5^4×0.5^4×(1 - 0.5)= \frac{5}{32}$，
$P(X = 5)=C_5^5×0.5^5 = \frac{1}{32}$.
　　$X$的分布列为
　　　　　$X$　$0$　　$1$　　$2$　　$3$　　$4$　　$5$
　　　　　$P$　$\frac{1}{32}$　$\frac{5}{32}$　$\frac{5}{16}$　$\frac{5}{16}$　$\frac{5}{32}$　$\frac{1}{32}$
　　设游客在一次游戏中获得奖金$Y$元，
　　于是$Y$的分布列为
　　　　　　　
　　故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为
　　$E(Y)=(-2)×\frac{13}{16} + 0×\frac{5}{32} + 40×\frac{1}{32} = -\frac{3}{8}$(元).

1. 设 $ 15000 $ 件产品中有 $ 1000 $ 件废品，从中抽取 $ 150 $ 件进行检查，则查得废品数 $ X $ 的均值为(B).

A.$ 20 $
B.$ 10 $
C.$ 5 $
D.$ 15 $

答案： 1.B　解析废品率为$\frac{1}{15}$，$X\sim B(150,\frac{1}{15})$，所以$E(X)=150×\frac{1}{15} = 10$.

2. 已知离散型随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ 1, 2, 3, 4 $，$ P(X = k) = ak + b (k = 1, 2, 3, 4) $，且 $ E(X) = 3 $，则 $ a + b $ 等于(D).

A.$ 10 $
B.$ 5 $
C.$ \frac{1}{5} $
D.$ \frac{1}{10} $

答案： 2.D　解析易知$E(X)=1×(a + b) + 2×(2a + b) + 3×(3a + b) + 4×(4a + b)=3$，
　　　即$30a + 10b = 3$.①
　　　又$(a + b) + (2a + b) + (3a + b) + (4a + b)=1$，即$10a + 4b = 1$，②
　　　由①②，得$a = \frac{1}{10}$，$b = 0$.
　　　故$a + b = \frac{1}{10}$.

3. 设 $ \xi $ 的分布列为

又设 $ \eta = 2\xi + 5 $，则 $ E(\eta) $ 等于(D).

A.$ \frac{7}{6} $
B.$ \frac{17}{6} $
C.$ \frac{17}{3} $
D.$ \frac{32}{3} $

答案： 3.D　解析$E(\xi)=1×\frac{1}{6} + 2×\frac{1}{6} + 3×\frac{1}{3} + 4×\frac{1}{3} = \frac{17}{6}$，
　　　$E(\eta)=E(2\xi + 5)=2E(\xi) + 5 = 2×\frac{17}{6} + 5 = \frac{32}{3}$.

4. 一个课外兴趣小组共有 $ 5 $ 名同学，其中 $ 3 $ 名女同学，$ 2 $ 名男同学，现从中随机选取 $ 2 $ 名同学进行学习汇报，记选出女同学的人数为 $ X $，则 $ X $ 的均值是(A).

A.$ \frac{6}{5} $
B.$ \frac{3}{10} $
C.$ \frac{4}{5} $
D.$ \frac{1}{5} $

答案： 4.A　解析由题意得$P(X = 0)=\frac{C_2^2}{C_5^2} = \frac{1}{10}$，
　　　$P(X = 1)=\frac{C_2^1C_3^1}{C_5^2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$，
　　　$P(X = 2)=\frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10}$.
　　　$E(X)=0×\frac{1}{10} + 1×\frac{3}{5} + 2×\frac{3}{10} = \frac{6}{5}$，故A正确.

5. 同时抛掷 $ 5 $ 枚均匀的硬币 $ 80 $ 次，设 $ 5 $ 枚硬币正好出现 $ 2 $ 枚正面向上、$ 3 $ 枚反面向上的次数为 $ X $，则 $ X $ 的均值是(C).

A.$ 20 $
B.$ 30 $
C.$ 25 $
D.$ 40 $

答案： 5.C　解析抛掷一次正好出现$3$枚反面向上、$2$枚正面向上的概率为$\frac{C_5^3}{2^5} = \frac{5}{16}$，
　　　所以$X\sim B(80,\frac{5}{16})$，
　　　故$E(X)=80×\frac{5}{16} = 25$.

6. 今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为 $ 0.9 $ 和 $ 0.85 $，设发现目标的雷达台数为 $ X $，则 $ E(X) $ 等于(B).

A.$ 0.765 $
B.$ 1.75 $
C.$ 1.765 $
D.$ 0.22 $

答案： 6.B　解析$P(X = 0)=(1 - 0.9)×(1 - 0.85)=0.1×0.15 = 0.015$，
　　　$P(X = 1)=0.9×(1 - 0.85) + 0.85×(1 - 0.9)=0.22$，
　　　$P(X = 2)=0.9×0.85 = 0.765$.
　　　$E(X)=0×0.015 + 1×0.22 + 2×0.765 = 1.75$.