《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

要点3利用二项式定理求近似值
典型例题
求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
二归纳总结
在(1+x)”=1+Cx+C²x²+...+
C”"中,当x的绝对值与1相比很小且n 很大时,x²,x”,...,x”等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式:(1+x)”≈1+nx.在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求来确定对展开式中各项的取舍.若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式:(1+x)”≈1+nx+$\frac{n(n−1)}{2}$x².

答案： 解$0.998^{6}=(1-0.002)^{6}=1+C_{6}^{1}×(-0.002)^{1}+C_{6}^{2}×(-0.002)^{2}+·s+(-0.002)^{6}$，
$T_{3}=C_{6}^{2}×(-0.002)^{2}=15×(-0.002)^{2}=0.00006＜0.001$，
且第3项以后的绝对值都小于0.001，
从第3项起，以后的项都可以忽略不计.
$0.998^{6}=(1-0.002)^{6}\approx1+6×(-0.002)=1-0.012=0.988$.

谚迁移应用
某地现有耕地10000公顷，规划10年
后粮食单产(单位:吨/公顷)比现在增加
22%，人均粮食占有量至少比现在提高
10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地
平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1
公顷))？(粮食单产−产积;人均粮食占
有量=总)

答案： 解 设耕地平均每年至多只能减少$x$公顷，
又设该地区现有人口为$p$人，粮食单产为$M$吨/公顷，依题意得不等式
$\frac{M×(1+22\%)×(10^{4}-10x)}{p×(1+1\%)^{10}}\geq\frac{M×10^{4}}{p}×(1+10\%)$，
化简得$x\leq10^{3}×\left[1-\frac{1.1×(1+0.01)^{10}}{1.22}\right]$.
因为$10^{3}×\left[1-\frac{1.1×(1+0.01)^{10}}{1.22}\right]=10^{3}×\left[1-\frac{1.1}{1.22}×(1+C_{10}^{1}×0.01+C_{10}^{2}×0.01^{2}+·s+C_{10}^{10}×0.01^{10})\right]$
$\approx10^{3}×\left(1-\frac{1.1}{1.22}×1.1045\right)$
$\approx4.1$，
所以$x\leq4$.
所以耕地平均每年至多只能减少4公顷.

要点4利用二项式定理证明整除问题
典型例题
求证:5151−1能被7整除.
二归纳总结
在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑出相关的因数.

答案： 证明$51^{51}-1=(49+2)^{51}-1=C_{51}^{0}×49^{51}+C_{51}^{1}×49^{50}×2+C_{51}^{2}×49^{49}×2^{2}+·s+C_{51}^{50}×49×2^{50}+C_{51}^{51}×2^{51}-1=49P+2^{51}-1(P=C_{51}^{0}×49^{50}+C_{51}^{1}×49^{49}×2+C_{51}^{2}×49^{48}×2^{2}+·s+C_{51}^{50}×2^{50})$.
$2^{51}-1=(2^{3})^{17}-1=(7+1)^{17}-1=C_{17}^{0}×7^{17}+C_{17}^{1}×7^{16}+C_{17}^{2}×7^{15}+·s+C_{17}^{16}×7+C_{17}^{17}-1=7Q(Q=C_{17}^{0}×7^{16}+C_{17}^{1}×7^{15}+C_{17}^{2}×7^{14}+·s+C_{17}^{16})$，
$\therefore51^{51}-1=49P+7Q=7(7P+Q)$，
故$51^{51}-1$能被7整除.