《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

11. 高一四个班的学生中有 34 人自愿组成数学课外小组，其中 7 人来自（1）班，8 人来自（2）班，9 人来自（3）班，10 人来自（4）班。
（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
（2）选四名组长，分别来自四个班，有多少种不同的选法？
（3）推选两人做组内发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

答案： 11.解
(1)分四类：第一类，从来自
(1)班的学生中选1人，有7种选法；
第二类，从来自
(2)班的学生中选1人，有8种选法；
第三类，从来自
(3)班的学生中选1人，有9种选法；
第四类，从来自
(4)班的学生中选1人，有10种选法，所以不同的选法有7+8+9+10=34种.
(2)分别从来自
(1)、
(2)、
(3)、
(4)班的学生中选一人任组长，所以不同的选法有7×8×9×10=5040种.
(3)分六类，每类又分两步：从来自
(1)、
(2)班的学生中各选1人，有7×8种不同的选法；
从来自
(1)、
(3)班的学生中各选1人，有7×9种不同的选法；
从来自
(1)、
(4)班的学生中各选1人，有7×10种不同的选法；
从来自
(2)、
(3)班的学生中各选1人，有8×9种不同的选法；
从来自
(2)、
(4)班的学生中各选1人，有8×10种不同的选法；
从来自
(3)、
(4)班的学生中各选1人，有9×10种不同的选法.
所以，不同的选法有7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431.

12. 用 $ n $ 种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要求在①②③④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色。
（1）若 $ n = 6 $，为甲着色时共有多少种不同的方法？
（2）若为乙着色时共有 120 种不同的方法，求 $ n $ 的值。

答案： 12.解 完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为①②③④这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数.
(1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有5种方法，为③区域着色时有4种方法，为④区域着色时有4种方法，依据分步乘法计数原理，知不同的着色方法有6×5×4×4=480种.
(2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域着色时有(n-1)种方法，为③区域着色时有(n-2)种方法，为④区域着色时有(n-3)种方法，由分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为n(n-1)(n-2)(n-3).
∴n(n-1)(n-2)(n-3)=120，
∴(n²-3n)(n²-3n+2)-120=0，
即(n²-3n)²+2(n²-3n)-120=0.
∴n²-3n-10=0或n²-3n+12=0(舍去).
∴n=5(负值n=-2舍去).