《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

互动探究
两点分布与二项分布的方差
探究 1 设 $X$ 的分布列为 $P(X = k)=C_5^k(\frac{1}{3})^k·(\frac{2}{3})^{5 - k}(k = 0,1,2,3,4,5)$，则 $D(3X)$ 的值是( A ).
A. $10$
B. $30$
C. $15$
D. $5$
探究 2 探究 1 中的条件不变，求 $E(3X + 2)$.
探究 3 若随机变量 $X$ 服从二项分布 $B(n,p)$，且 $E(3X + 2)=9.2$，$D(3X + 2)=12.96$，则求二项分布的参数 $n$，$p$ 的值.
归纳总结
求离散型随机变量的均值与方差的关注点
(1)写出离散型随机变量的分布列.
(2)正确应用均值与方差的公式进行计算.
(3)如果通过题设情境确定随机变量服从二项分布，那么可直接应用公式计算.

答案： 探究1　A解析由$P(X = k)=C_{5}^{k}(\frac{1}{3})^k(\frac{2}{3})^{5 - k}(k = 0,1,2,3,4,5)$，可知随机变量服从二项分布$B(5,\frac{1}{3})$，所以$D(X)=5×\frac{1}{3}×(1 - \frac{1}{3})=\frac{10}{9}$，$D(3X)=9D(X)=10$。
探究2　解由探究1可知$X \sim B(5,\frac{1}{3})$，所以$E(X)=5×\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$。故$E(3X + 2)=3E(X)+2 = 7$。
探究3　解由$E(3X + 2)=9.2$，$D(3X + 2)=12.96$及$X \sim B(n,p)$，知$\begin{cases}E(3X + 2)=3E(X)+2\\D(3X + 2)=9D(X)\end{cases}$，即$\begin{cases}3np + 2 = 9.2\\9np(1 - p)=12.96\end{cases}$，解得$\begin{cases}n = 6\\p = 0.4\end{cases}$，所以二项分布的参数$n = 6$，$p = 0.4$。