《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

3. 若 $ P(A\cap B)=\frac{3}{5} $，$ P(A)=\frac{3}{4} $，则 $ P(B|A) $ 的值为(B)。

A.$ \frac{5}{4} $
B.$ \frac{4}{5} $
C.$ \frac{3}{5} $
D.$ \frac{3}{4} $

答案： 3.B 解析 由公式得$P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{3}{5}}{ \frac{3}{4}}=\frac{4}{5}$.

4. (多选题)已知事件 $ A $，$ B $ 满足 $ A\subseteq B $，且 $ P(B)=0.5 $，则一定有(BC)。

A.$ P(\overline{A}B)＞0.5 $
B.$ P(\overline{B}|A)＜0.5 $
C.$ P(A\overline{B})＜0.25 $
D.$ P(A|B)＞0.5 $

答案： 4.BC 解析 对于A，因为$\overline{A}B \subseteq B$，所以$P(A B) \leq P(B)=0.5$，A项错误；
对于B，因为$A \subseteq \overline{B}$，所以$A \cap \overline{B}= \varnothing$，
所以$P(\overline{B}|A)=\frac{P(\overline{B} \cap A)}{P(A)}=0$，B项正确；
对于C，因为$A \subseteq B$，所以$A \cap \overline{B}= \varnothing$，所以$P(A B)=0$，C项正确；
对于D，因为$A \subseteq B$，所以$A \cap B=A$，所以$P(A \cap B)=P(A)$，若$A= \varnothing$，则$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)}{P(B)}=0$，D项错误.故选BC.

5. 某地气象台统计，该地明天下雨的概率为 $ \frac{4}{15} $，刮四级以上的风的概率为 $ \frac{2}{15} $，既刮四级以上的风又下雨的概率为 $ \frac{1}{10} $。设 $ A $ 为下雨，$ B $ 为刮四级以上的风，则 $ P(B|A)= $\frac{3}{8}，$ P(A|B)= $\frac{3}{4}。

答案： 5.$\frac{3}{8} \frac{3}{4}$ 解析 由已知$P(A)=\frac{4}{15}$，$P(B)=\frac{2}{15}$，
$P(A \cap B)=\frac{1}{10}$，
$\therefore P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{10}}{ \frac{4}{15}}=\frac{3}{8}$，$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{4}}{ \frac{1}{}}$（此处原书疑似漏印，应为$\frac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{15}}=\frac{3}{4}$）。

典型例题
一个袋中有大小和质地相同的 $ 2 $ 个黑球和 $ 3 $ 个白球，如果不放回地随机抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为 $ A $，事件“第二次抽到黑球”为 $ B $。
(1) 分别求事件 $ A $，$ B $，$ A\cap B $ 发生的概率；
(2) 求 $ P(B|A) $。
归纳总结
1. 用定义法求条件概率 $ P(B|A) $ 的步骤：
(1) 分析题意，弄清概率模型；
(2) 计算 $ P(A) $，$ P(A\cap B) $；
(3) 代入公式 $ P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} $。
2. 在典型例题中，首先结合古典概型分别求出事件 $ A $，$ B $ 的概率，从而求出 $ P(B|A) $，体现 $ P(A) $，$ P(B) $ 和 $ P(B|A) $ 三者之间的关系。

答案： 解 由古典概型的概率公式，可知
(1)$P(A)=\frac{2}{5}$，$P(B)=\frac{2 × 1+3 × 2}{5 × 4}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$，
$P(A \cap B)=\frac{2 × 1}{5 × 4}=\frac{1}{10}$.
(2)$P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{10}}{ \frac{2}{5}}=\frac{1}{4}$.

迁移应用
在 $ 5 $ 道题中有 $ 3 $ 道数学题和 $ 2 $ 道物理题。不放回地依次抽取 $ 2 $ 道题，求：
(1) 第 $ 1 $ 次抽到数学题的概率；
(2) 第 $ 1 $ 次和第 $ 2 $ 次都抽到数学题的概率；
(3) 在第 $ 1 $ 次抽到数学题的条件下，第 $ 2 $ 次抽到数学题的概率。

答案： 解 设第1次抽到数学题为事件A，第2次抽到数学题为事件B，则第1次和第2次都抽到数学题为事件$A \cap B$.
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题包含的样本点总数为$A_{5}^{2}=20$.
事件A所含样本点的总数为$A_{3}^{1} × A_{4}^{1}=12$.
故$P(A)=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$.
(2)因为事件$A \cap B$含$A_{3}^{2}=6$个样本点，
所以$P(A \cap B)=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.
(3)方法一：由
(1)
(2)可得，在第1次抽到数学题的条件下，第2次抽到数学题的概率为$P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{3}{10}}{ \frac{3}{5}}=\frac{1}{2}$.
方法二：因为事件$A \cap B$含6个样本点，事件A含12个样本点，
所以$P(B|A)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.