《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

要点2 二项式定理的灵活运用
典型例题
(1)$(x^2 + x + y)^5$ 的展开式中 $x^5 y^2$ 的系数为(C)。
A.$10$
B.$20$
C.$30$
D.$60$

答案：
(1)C 解析 方法一：$(x^{2}+x+y)^{5}=[(x^{2}+x)+y]^{5}$，
含$y^{2}$的项为$T_{3}=C_{5}^{2}(x^{2}+x)^{3}y^{2}$，
其中$(x^{2}+x)^{3}$中含$x^{5}$的项为$C_{3}^{1}x^{4}· x=C_{3}^{1}x^{5}$.
所以$x^{5}y^{2}$的系数为$C_{5}^{2}C_{3}^{1}=30$.
故选C.
方法二：$(x^{2}+x+y)^{5}$为5个$x^{2}+x+y$之积，其中有两个取$y$，两个取$x^{2}$，一个取$x$即可，所以$x^{5}y^{2}$的系数为$C_{5}^{2}C_{3}^{2}C_{1}^{1}=30$.
故选C.

(2)求 $(x - y)(x + y)^8$ 的展开式中 $x^2 y^7$ 的系数。

答案：
(2)解 依题意，$(x+y)^{8}$的二项展开式的通项公式为T_{k+1}=C_{8}^{k}x^{8-k}y^{k},0\leq k\leq8,k\inZ.
当$k=7$时，$T_{8}=C_{8}^{7}xy^{7}=8xy^{7}$；
当$k=6$时，$T_{7}=C_{8}^{6}x^{2}y^{6}=28x^{2}y^{6}$.
所以$(x-y)(x+y)^{8}$的展开式中含$x^{2}y^{7}$的项为$x·8xy^{7}+(-y)·28x^{2}y^{6}=-20x^{2}y^{7}$，故$x^{2}y^{7}$的系数为$-20$.

迁移应用
(1)$(1 + \frac{1}{x^2})(1 + x)^6$ 的展开式中 $x^2$ 的系数为(C)。
A. $15$
B. $20$
C. $30$
D. $35$
(2)求 $(x^2 + 3x + 2)^5$ 的展开式中 $x$ 的系数。

答案：
(1)C 解析 方法一：$(1+\frac{1}{x^{2}})(1+x)^{6}=(1+x)^{6}+\frac{1}{x^{2}}·(1+x)^{6}$，$(1+x)^{6}$的展开式中的$x^{2}$的系数为$C_{6}^{2}=\frac{6×5}{2}=15,\frac{1}{x^{2}}·(1+x)^{6}$的展开式中的$x^{2}$的系数为$C_{6}^{4}=15$，所以$x^{2}$的系数为$15+15=30$.
方法二：$(1+x)^{6}$的二项展开式的通项为$T_{r+1}=C_{6}^{r}x^{r}$，$(1+\frac{1}{x^{2}})(1+x)^{6}$的展开式中含$x^{2}$的项的来源有两部分，一部分是$1·C_{6}^{2}x^{2}=15x^{2}$，另一部分是$\frac{1}{x^{2}}·C_{6}^{4}x^{4}=15x^{2}$，故$(1+\frac{1}{x^{2}})(1+x)^{6}$的展开式中含$x^{2}$的项为$15x^{2}+15x^{2}=30x^{2}$，其系数是30.
(2)解 方法一：因为$(x^{2}+3x+2)^{5}=(x+2)^{5}(x+1)^{5}=(C_{5}^{0}x^{5}+C_{5}^{1}x^{4}·2+·s+C_{5}^{5}·2^{5})(C_{5}^{0}x^{5}+C_{5}^{1}x^{4}+·s+C_{5}^{5})$，
所以展开后含$x$的项为$C_{5}^{4}x·2^{4}·C_{5}^{5}+C_{5}^{5}·2^{5}·C_{5}^{4}x=240x$，
所以$(x^{2}+3x+2)^{5}$的展开式中$x$的系数为240.
方法二：把$(x^{2}+3x+2)^{5}$看成5个$(x^{2}+3x+2)$相乘，每个因式各取一项相乘得到展开式中的一项，含$x$的项可由1个因式取$3x$，4个因式取2得到，即$C_{5}^{1}3x·C_{4}^{4}·2^{4}=240x$，
所以$(x^{2}+3x+2)^{5}$的展开式中$x$的系数为240.