《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

2. 若 $C_{n}^{2}=28$，则 $n$ 的值为(B)。

A.$9$
B.$8$
C.$7$
D.$6$

答案： 2.B 解析$C_n^2=\frac{n×(n - 1)}{2}=28$，解得$n = 8$.

3. 甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等(同距离两地票价相同)，则车票票价的种数是3。

答案： 3.3 解析 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为$C_3^2=\frac{3×2}{2}=3$.

4. $C_{6}^{2}=$15，$C_{18}^{17}=$18。

答案： 4.15 18 解析$C_6^2=\frac{6×5}{2}=15,C_{18}^{17}=C_{18}^1=18$.

5. 方程 $C_{14}^{x}=C_{14}^{2x - 4}$ 的解为$x = 4$或$x = 6$。

答案： 5.$x = 4$或$x = 6$ 解析 由题意知$\begin{cases}x = 2x - 4,\\2x - 4\leq14,\\x\leq14,\end{cases}$或$\begin{cases}x = 14 - (2x - 4),\\2x - 4\leq14,\\x\leq14,\end{cases}$
解得$x = 4$或$x = 6$.

要点 1 组合的有关概念
典型例题
判断下列问题是排列问题还是组合问题。
(1)$10$ 支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？
(2)$10$ 支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
(3)从 $10$ 个人里选 $3$ 人作为代表去开会，有多少种选法？
(4)从 $10$ 个人里选出 $3$ 人分别担任 $3$ 个不同学科的课代表，有多少种选法？
归纳总结
1 根据排列与组合的定义进行判断，区分排列问题与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关。与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题。
2 区分有无顺序的方法
把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题。

答案： 典型例题
解
(1)是组合问题，因为每两个球队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别.
(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别.
(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别.
(4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的.